Bryła sztywna - moment siły, moment bezwładności, toczenie
Co sprawdza matura
Zadania dotyczą równowagi momentów sił, momentu bezwładności, II zasady dynamiki dla obrotu oraz toczenia się ciał bez poślizgu. Często trzeba porównać, które ciało (kula, walec, obręcz) stoczy się szybciej z tej samej wysokości.
Rdzeń pojęciowy
- Moment siły: M = F·r·sinα; ramię r to odległość od osi obrotu do linii działania siły, nie do punktu przyłożenia.
- Moment bezwładności: I = Σm_i·r_i². Dla kuli 2/5·mr², walca ½·mr², obręczy mr², pręta względem środka 1/12·ml².
- Twierdzenie Steinera: I = I_śr + m·d².
- II zasada dla obrotu: M_wyp = I·ε; moment pędu L = I·ω; energia obrotu ½·I·ω².
- Toczenie bez poślizgu: v = ωr, energia całkowita ½mv² + ½Iω².
Przykład
Walec (I = ½mr²) stacza się bez poślizgu z wysokości h = 0,45 m; g = 10 m/s². Bilans energii: mgh = ½mv² + ½·(½mr²)·(v²/r²) = ¾mv². Stąd v = √(4gh/3) = √6 ≈ 2,4 m/s. Masa i promień się skracają - wynik zależy tylko od kształtu ciała, dlatego kula wyprzedza walec, a walec obręcz.
Pułapki
Branie momentu bezwładności dla osi innej niż rzeczywista oś obrotu; zapominanie o twierdzeniu Steinera, gdy oś obrotu nie przechodzi przez środek masy; sądzenie, że tarcie statyczne przy toczeniu wykonuje pracę (punkt styku chwilowo spoczywa); mylenie momentu siły z siłą; pomijanie energii obrotu w bilansie energetycznym.