Grawitacja - pole centralne, prędkości kosmiczne, prawa Keplera
Co sprawdza matura
Zadania dotyczą prawa powszechnego ciążenia, natężenia pola grawitacyjnego na różnych wysokościach, energii potencjalnej w polu centralnym, prędkości kosmicznych oraz III prawa Keplera, np. przy porównywaniu okresów satelitów.
Rdzeń pojęciowy
- F = G·Mm/r², gdzie G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg²; r mierzymy od środka ciała przyciągającego.
- Natężenie pola g = GM/r²; na wysokości h nad Ziemią r = R + h, więc g maleje, ale nie znika.
- Energia potencjalna w polu centralnym U = −GMm/r przy umowie U(∞) = 0; dla małych h przechodzi w Ep = mgh.
- I prędkość kosmiczna v_I = √(GM/R) = √(gR) ≈ 7,9 km/s; II prędkość kosmiczna to √2·v_I ≈ 11,2 km/s.
- III prawo Keplera: T²/a³ = 4π²/(GM) - stała dla satelitów tego samego ciała centralnego.
Przykład
Satelita krąży na wysokości równej promieniowi Ziemi, czyli r = 2R. Natężenie pola: g' = GM/(2R)² = g/4 ≈ 2,45 m/s². Prędkość orbitalna: v = √(GM/(2R)) = v_I/√2 ≈ 5,6 km/s. Okres rośnie wraz z promieniem orbity, zgodnie z T² ∝ a³.
Pułapki
Stosowanie g = 9,81 m/s² dla dużych wysokości; zapominanie, że U w polu centralnym jest ujemna i przy oddalaniu rośnie (staje się mniej ujemna); nazywanie stanu na orbicie „brakiem grawitacji” - to swobodne spadanie; mieszanie promienia orbity z wysokością nad powierzchnią; używanie III prawa Keplera dla różnych ciał centralnych.