Mechanika relatywistyczna - dylatacja, skrócenie, energia
Co sprawdza matura
Zadania dotyczą dwóch postulatów Einsteina, dylatacji czasu, skrócenia długości, relatywistycznego dodawania prędkości oraz równoważności masy i energii. Wymagana jest umiejętność liczenia czynnika Lorentza i wnioskowania o granicy c.
Rdzeń pojęciowy
- γ = 1/√(1 − v²/c²); dla v = 0,6c γ = 1,25, dla v = 0,8c γ ≈ 1,67.
- Dylatacja czasu: Δt = γ·Δt₀, gdzie Δt₀ to czas własny, mierzony w układzie spoczynkowym zdarzenia - najkrótszy z możliwych.
- Skrócenie długości: L = L₀/γ; długość własna L₀ jest największa.
- Transformacja prędkości: u = (u' + V)/(1 + u'V/c²) - wynik nigdy nie przekracza c.
- Pęd p = γm₀v; energia całkowita E = γm₀c² = m₀c² + Ek; związek E² = (pc)² + (m₀c²)².
- Energie spoczynkowe: elektron ≈ 0,511 MeV, proton ≈ 938 MeV.
Przykład
Cząstka porusza się z v = 0,6c, a jej czas własny między dwoma zdarzeniami wynosi 1 μs. W układzie laboratoryjnym Δt = 1,25 μs. Energia kinetyczna: Ek = (γ − 1)m₀c² = 0,25·m₀c² - dla protonu około 235 MeV, więc klasyczne ½mv² dałoby wynik znacznie zaniżony.
Pułapki
Odwracanie dylatacji i skrócenia (podstawianie czasu laboratoryjnego jako czasu własnego); arytmetyczne dodawanie prędkości bliskich c; używanie Ek = ½mv² dla v > 0,1c; mieszanie masy spoczynkowej z „masą relatywistyczną” - bezpieczniej operować pędem i energią; zapominanie, że foton ma pęd, choć nie ma masy spoczynkowej.