Kyvadlo a rezonancia na hodinách
Staré kyvadlové hodiny majú matematické kyvadlo s dĺžkou 1,00 m a hmotnosťou závažia 0,50 kg. Pri teplote 20 °C idú presne, perióda je daná vzťahom T = 2π√(l/g) s g = 9,81 m/s². V zime sa miestnosť ochladí a kovová tyč kyvadla sa skráti o 0,05 % (relatívna zmena dĺžky −5·10⁻⁴). Majiteľ si všimne, že hodiny začnú ísť mierne nepresne. Predpokladajte malé kmity a zanedbajte odpor vzduchu.
1. Vypočítajte pôvodnú periódu kyvadla a novú periódu po skrátení tyče o 0,05 %. O koľko sekúnd za deň sa hodiny predbehnú alebo oneskoria?
Read the worked answer
Pôvodná perióda: T = 2π√(1,00/9,81) = 2π√0,10194 = 2π·0,3193 ≈ 2,006 s.
Nová dĺžka: l' = 1,00·(1 − 5·10⁻⁴) = 0,9995 m. Perióda závisí od √l, preto relatívna zmena periódy je polovica relatívnej zmeny dĺžky: ΔT/T ≈ ½·(−5·10⁻⁴) = −2,5·10⁻⁴.
Nová perióda: T' ≈ 2,006·(1 − 2,5·10⁻⁴) ≈ 2,0055 s (skrátila sa).
Kratšia perióda znamená rýchlejšie kmitanie - hodiny sa predbiehajú. Za deň je 86400 s, počet kmitov sa zvýši o relatívnu zmenu 2,5·10⁻⁴: strata/ zisk ≈ 86400·2,5·10⁻⁴ ≈ 21,6 s.
Hodiny sa teda predbehnú približne o 22 sekúnd za deň.
2. Majiteľ chce hodiny nastaviť tak, aby pri ochladenej tyči (dĺžka 0,9995 m) mali opäť periódu 2,006 s. O koľko by musel posunúť závažie (zmeniť dĺžku) a akým smerom? Vysvetlite fyzikálny princíp.
Read the worked answer
Chceme T = 2,006 s pri l' = 0,9995 m. Keďže perióda rastie s dĺžkou, pri skrátenej tyči treba dĺžku opäť zväčšiť, teda závažie posunúť smerom nadol (predĺžiť kyvadlo).
Potrebná dĺžka: z T = 2π√(l/g) vyjadríme l = g·T²/(4π²) = 9,81·(2,006)²/(4π²) = 9,81·4,024/39,48 ≈ 1,0000 m.
Rozdiel: 1,0000 − 0,9995 = 0,0005 m = 0,5 mm. Závažie treba posunúť približne o 0,5 mm nadol.
Fyzikálny princíp: perióda matematického kyvadla závisí len od dĺžky a tiažového zrýchlenia, nie od hmotnosti závažia. Preto nastavovanie chodu kyvadlových hodín sa robí zmenou dĺžky (polohou závažia), nie zmenou jeho hmotnosti.