Faiz artımı və endirim: hansı müqayisə doğrudur
Mağazada bir məhsulun qiyməti əvvəlcə 200 manat idi. Satıcı əvvəlcə qiyməti 25% artırır, sonra yeni qiymətdən 20% endirim edir. Alıcı deyir: «25% artım, 20% endirim - deməli, qiymət əvvəlkindən 5% baha olacaq.» Satıcı isə deyir: «Xeyr, qiymət dəyişməyəcək.» Mağaza rəhbəri üçüncü fikri irəli sürür: «Nəticə əvvəlki qiymətdən asılı deyil, həmişə eyni faiz nəticə verir.» Şagirddən bu üç fikri yoxlaması və əlavə olaraq belə bir sualı cavablandırması xahiş olunur: əgər endirim 20% deyil, 25% olsaydı, nəticə necə dəyişərdi?
1. Alıcının «5% baha» fikrini hesablamalarla yoxlayın.
Read the worked answer
Alıcı faizləri sadəcə toplayıb-çıxır, bu isə səhvdir, çünki faizlər müxtəlif bazalara tətbiq olunur. Hesablama: 200 manatın 25%-i 50 manatdır, yeni qiymət 250 manat olur. Sonra 250 manatın 20%-i 50 manatdır, endirimdən sonra qiymət 200 manat olur. Deməli, nəticə əvvəlki qiymətə bərabərdir, 5% baha deyil. Alıcının səhvi ondan ibarətdir ki, o, 25% və 20%-i eyni bazaya aid hesab edir; əslində ikinci faiz artıq dəyişmiş qiymətə tətbiq olunur. Bu tip səhvlər imtahanda tez-tez rast gəlinir və yoxlama üsulu sadədir: hər addımda faizi cari qiymətə tətbiq etmək lazımdır.
2. Satıcının «qiymət dəyişməyəcək» fikri bu konkret ədədlər üçün doğrudurmu? Ümumi halda doğrudurmu?
Read the worked answer
Bu ədədlər üçün doğrudur: 200 → 250 → 200. Lakin ümumi halda bu təsadüfdür. Ümumi düstur: qiymət P, artım a, endirim b olarsa, nəticə P·(1+a)(1−b) olur. Burada (1+0,25)(1−0,20)=1,25·0,80=1,00, yəni nəticə dəyişmir. Amma a=30%, b=20% olsaydı: 1,30·0,80=1,04, yəni 4% bahalaşma olardı. a=20%, b=25% olsaydı: 1,20·0,75=0,90, yəni 10% ucuzlaşma olardı. Deməli, «həmişə dəyişmir» iddiası yanlışdır; dəyişməmə yalnız (1+a)(1−b)=1 şərti ödənəndə, yəni b=a/(1+a) olduqda baş verir. Bu halda 0,25/1,25=0,20, yəni b=20% olur. Satıcı konkret halda haqlıdır, ümumiləşdirmədə isə haqlı deyil.
3. Mağaza rəhbərinin «nəticə əvvəlki qiymətdən asılı deyil» fikrini qiymətləndirin və endirim 25% olsaydı nəticəni hesablayın.
Read the worked answer
Rəhbərin fikri qismən doğrudur: faiz nəticəsi ilkin qiymətin mütləq dəyərindən asılı deyil, çünki P hər iki addımda vuruq kimi iştirak edir və ixtisar olunur. Yəni P=200 və ya P=1000 olsa da, nisbi nəticə eynidir. Lakin bu, yalnız faiz dərəcələri eyni qaldıqda doğrudur; əgər mağaza yuvarlaqlaşdırma tətbiq edirsə (məsələn, qiymətləri tam manata yuvarlaqlaşdırırsa), kiçik qiymətlərdə nəticə fərqlənə bilər. Endirim 25% olsaydı: 200 → 250, sonra 250·0,75=187,50 manat. Nisbi nəticə 187,50/200=0,9375, yəni 6,25% ucuzlaşma olardı. Beləliklə, rəhbərin əsas fikri (nisbi nəticənin ilkin qiymətdən asılı olmaması) doğrudur, amma yuvarlaqlaşdırma şərti və faiz dərəcələrinin konkretliyi nəzərə alınmalıdır.