O padrão de azulejos e a generalização
Um artista monta painéis com azulejos quadrados seguindo um padrão. O painel 1 tem 1 azulejo; o painel 2 tem 4; o painel 3 tem 9; o painel 4 tem 16. Cada painel é um quadrado perfeito de lado formado por azulejos inteiros. O artista quer construir o painel 10 e precisa saber quantos azulejos comprar, além de prever o custo. Cada azulejo custa R$ 2,50, e há uma taxa fixa de R$ 30,00 por pedido, independentemente da quantidade. Ele também quer saber a partir de qual painel o número de azulejos ultrapassa 500.
1. Identifique a regra de formação e determine quantos azulejos terá o painel 10.
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Os totais são 1, 4, 9, 16, que são 1², 2², 3², 4². A regra é: o painel n tem n² azulejos, pois é um quadrado de n azulejos de lado.
Para n = 10: 10² = 100 azulejos.
Verificação por diferenças: 4 − 1 = 3; 9 − 4 = 5; 16 − 9 = 7. As diferenças são ímpares consecutivos, o que confirma o padrão de quadrados perfeitos.
2. Calcule o custo total do painel 10 e explique por que o custo por azulejo diminui quando o pedido é maior.
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Azulejos: 100. Custo dos azulejos: 100 · 2,50 = R$ 250,00. Somando a taxa fixa: 250 + 30 = R$ 280,00.
Custo por azulejo: 280 : 100 = R$ 2,80.
Se o pedido fosse do painel 4 (16 azulejos): 16 · 2,50 = 40,00; com taxa, 70,00; por azulejo, 70 : 16 = R$ 4,375. Quanto maior o pedido, mais a taxa fixa de R$ 30,00 se dilui entre os azulejos, reduzindo o custo unitário. Isso não significa que o azulejo ficou mais barato: o preço unitário é o mesmo; o que muda é o rateio da taxa fixa.
3. A partir de qual painel o número de azulejos ultrapassa 500? Resolva sem testar todos os valores, um a um.
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Queremos o menor n inteiro com n² > 500.
Sabemos que 22² = 484 e 23² = 529. Como 484 < 500 < 529, o primeiro painel a ultrapassar 500 azulejos é o painel 23, com 529 azulejos.
O painel 22 tem 484, ainda abaixo de 500. Portanto, a resposta é n = 23. Esse raciocínio usa quadrados conhecidos em vez de testar 1, 2, 3, ... até 23, o que seria trabalhoso e sujeito a erro.