OBMEP key terms

Inteiro maior que 1 cujos únicos divisores positivos são 1 e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11. O número 1 não é primo, e todo inteiro maior que 1 se decompõe em fatores primos.

Inteiro maior que 1 que possui algum divisor positivo além de 1 e dele mesmo. Por exemplo, 12 é composto pois 2, 3, 4 e 6 o dividem. Todo composto pode ser escrito como produto de primos.

Escrita de um inteiro maior que 1 como produto de fatores primos, geralmente em ordem crescente. Por exemplo, 360 = 2³ · 3² · 5. Essa decomposição é única, o que ajuda a calcular divisores e simplificar frações.

Maior inteiro positivo que divide dois ou mais números ao mesmo tempo. O MDC de 24 e 36 é 12. Pode ser obtido pela fatoração comum com menores expoentes ou pelo algoritmo das divisões sucessivas.

Menor inteiro positivo que é múltiplo de dois ou mais números ao mesmo tempo. O MMC de 4 e 6 é 12. É útil para somar frações com denominadores diferentes e para problemas de encontros periódicos.

Fração que representa a mesma quantidade que outra, obtida multiplicando ou dividindo numerador e denominador pelo mesmo número natural não nulo. Assim, 2/3 e 8/12 são equivalentes, pois ambos valem o mesmo ponto na reta numérica.

Processo de dividir numerador e denominador de uma fração por um divisor comum maior que 1, obtendo uma fração equivalente com termos menores. Por exemplo, 18/24 simplifica para 3/4 dividindo ambos por 6.

Número que pode ser escrito como razão entre dois inteiros, com denominador não nulo. Inclui inteiros, frações e decimais finitos ou dízimas periódicas, como 3/5, −7 e 0,333... Sua representação decimal é finita ou periódica.

Representação decimal infinita em que um ou mais algarismos se repetem indefinidamente. Por exemplo, 1/3 = 0,333... e 5/11 = 0,454545... Todo número racional tem decimal finito ou periódico.

Número real que não pode ser escrito como razão de dois inteiros. Sua representação decimal é infinita e não periódica. Exemplos: raiz de 2, o número pi e o número de Euler.

Razão é a comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão; proporção é a igualdade entre duas razões. Em a/b = c/d, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, o que permite resolver problemas de escala.

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao dobrar uma, a outra também dobra, mantendo constante o quociente entre elas. Por exemplo, quantidade de combustível e distância percorrida em consumo fixo.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao dobrar uma, a outra cai pela metade, mantendo constante o produto entre elas. Por exemplo, número de trabalhadores e tempo para concluir uma obra.

Método para encontrar um valor desconhecido a partir de três valores conhecidos em grandezas proporcionais. Monta-se a proporção e resolve-se pela igualdade dos produtos cruzados, verificando se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais.

Razão cujo denominador é 100, indicada pelo símbolo %. Assim, 25% equivale a 25/100 = 0,25. É usada para descontos, acréscimos, juros e comparações de partes com o todo.

Número pelo qual se multiplica um valor para aplicar aumento ou desconto percentual. Um aumento de 20% corresponde a multiplicar por 1,20; um desconto de 30% corresponde a multiplicar por 0,70.

Acréscimo calculado sempre sobre o capital inicial, dado por J = C · i · t, em que i é a taxa na forma decimal e t o tempo. O montante final é a soma do capital com os juros.

Operação que indica multiplicação de fatores iguais: aⁿ significa a multiplicado por si mesmo n vezes. Em 2⁵ = 32, a base é 2 e o expoente é 5. Propriedades como aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ facilitam cálculos.

Regras que simplificam cálculos com expoentes: produto de mesma base soma expoentes, quociente subtrai, potência de potência multiplica, e expoente negativo inverte a base. Por exemplo, 2³ · 2⁴ = 2⁷.

Operação inversa da potenciação: a raiz n-ésima de a é o número que, elevado a n, resulta em a. A raiz quadrada de 49 é 7, pois 7² = 49. Raízes de números não quadrados perfeitos são irracionais.

Forma de escrever números muito grandes ou muito pequenos como a · 10ⁿ, com 1 ≤ a < 10 e n inteiro. Por exemplo, 4 500 000 = 4,5 · 10⁶ e 0,00032 = 3,2 · 10⁻⁴.

Igualdade envolvendo uma incógnita com expoente 1, do tipo ax + b = c, com a diferente de zero. Resolve-se isolando a incógnita por operações inversas, obtendo uma única solução.

Conjunto de duas ou mais equações com as mesmas incógnitas, cuja solução satisfaz todas simultaneamente. Pode ser resolvido por substituição ou adição, como em x + y = 10 e x − y = 4.

Combinação de números, letras e operações que representa uma quantidade geral. Por exemplo, 3x + 5 ou a² − 2ab. As letras são variáveis, e o valor numérico depende dos valores atribuídos a elas.

Identidades algébricas que aparecem com frequência e evitam multiplicações longas. Destacam-se o quadrado da soma (a + b)² = a² + 2ab + b² e a diferença de quadrados a² − b² = (a + b)(a − b).

Escrita de uma expressão como produto de fatores mais simples. Exemplos incluem colocar o fator comum em evidência, como 6x + 9 = 3(2x + 3), e usar diferença de quadrados.

Função de forma f(x) = ax² + bx + c, com a diferente de zero. Seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima se a > 0. As raízes vêm da fórmula de Bhaskara e o vértice indica máximo ou mínimo.

Valor Δ = b² − 4ac associado a uma equação do segundo grau. Se Δ > 0 há duas raízes reais distintas; se Δ = 0 há uma raiz dupla; se Δ < 0 não há raízes reais.

Equação da forma ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero. As soluções são dadas por x = (−b ± √Δ) / 2a, em que Δ = b² − 4ac. Pode ter zero, uma ou duas raízes reais.

Função de forma f(x) = ax + b, cujo gráfico é uma reta. O coeficiente a é a taxa de variação: positivo indica crescimento, negativo indica decrescimento; b é o valor quando x = 0.

Sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando uma constante chamada razão. O termo geral é aₙ = a₁ + (n − 1)r, e a soma dos n primeiros termos é Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.

Sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão. O termo geral é aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹, e a soma dos n primeiros termos é a₁(qⁿ − 1)/(q − 1).

Conjunto de técnicas para contar agrupamentos sem enumerá-los um a um. Usa o princípio multiplicativo, permutações, arranjos e combinações, conforme a ordem e a repetição dos elementos importem ou não.

Regra segundo a qual, se uma escolha pode ser feita de m maneiras e outra de n maneiras independentes, o total de possibilidades conjuntas é m · n. Base para resolver problemas de contagem.

Agrupamento de parte dos elementos de um conjunto em que a ordem não importa. O número de combinações de n elementos tomados p a p é C(n,p) = n! / [p!(n − p)!].

Agrupamento que usa todos os elementos de um conjunto, importando a ordem. O número de permutações de n elementos distintos é n!. Com repetições, divide-se n! pelo fatorial das multiplicidades.

Medida da chance de um evento ocorrer, entre 0 e 1. Em espaços equiprováveis, calcula-se dividindo o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis. Pode ser expressa em fração, decimal ou porcentagem.

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a² = b² + c². Permite calcular lados desconhecidos e verificar se um triângulo é retângulo.

Relações entre os lados de um triângulo retângulo: seno é cateto oposto sobre hipotenusa, cosseno é cateto adjacente sobre hipotenusa e tangente é oposto sobre adjacente. Valores notáveis aparecem em 30°, 45° e 60°.

Dois triângulos são semelhantes quando têm ângulos correspondentes iguais e lados correspondentes proporcionais. A razão entre perímetros é a razão de semelhança, e entre áreas é o quadrado dessa razão.

Retas paralelas cortadas por retas transversais determinam segmentos proporcionais. É usado para calcular comprimentos desconhecidos em figuras com paralelismo e para fundamentar a semelhança de triângulos.

Medida da superfície ocupada por uma figura. Fórmulas comuns: retângulo b · h, triângulo b · h / 2, trapézio (B + b)h / 2 e círculo πr². A unidade é sempre quadrada, como cm².

Medida do espaço ocupado por um sólido, expressa em unidades cúbicas. O prisma e o cilindro têm volume área da base vezes altura; a pirâmide e o cone têm um terço desse valor.