OBMEP cheat sheet

Divisibilidade: um número é divisível por 3 (ou 9) quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3 (ou 9); por 4 quando os dois últimos algarismos formam múltiplo de 4; por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Frações: a/b + c/d = (ad + bc)/bd; a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Para comparar frações, reduza ao mesmo denominador ou compare os produtos cruzados ad e bc.

Porcentagem: x% de N = (x/100)·N. Aumento de x% seguido de desconto de x% não retorna ao valor inicial: o fator final é (1 + x/100)(1 − x/100) = 1 − x²/10000.

Regra de três: em grandezas diretamente proporcionais, a/b = c/d; em inversamente proporcionais, a·b = c·d. Verifique a proporcionalidade antes de montar a igualdade.

Progressões: PA tem aₙ = a₁ + (n−1)r e Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2; PG tem aₙ = a₁·q^(n−1) e Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) para q ≠ 1.

Produtos notáveis e fatoração: (a ± b)² = a² ± 2ab + b²; a² − b² = (a + b)(a − b); a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²).

Equação do 2º grau: ax² + bx + c = 0 tem Δ = b² − 4ac; se Δ > 0 há duas raízes reais x = (−b ± √Δ)/(2a); soma = −b/a e produto = c/a.

Trigonometria no triângulo retângulo: sen = cateto oposto/hipotenusa, cos = cateto adjacente/hipotenusa, tg = oposto/adjacente; sen²θ + cos²θ = 1 e a Lei dos Cossenos é a² = b² + c² − 2bc·cos Â.

Geometria plana: área do triângulo = (base × altura)/2; do trapézio = (B + b)h/2; do círculo = πr²; comprimento da circunferência = 2πr. Volume do prisma = área da base × altura; do cilindro = πr²h.

Princípio multiplicativo: se uma escolha pode ser feita de m modos e outra de n modos independentes, o total é m·n. Use permutações P(n) = n! quando a ordem importa e combinações C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) quando não importa.

Probabilidade clássica: P(A) = casos favoráveis / casos possíveis, com resultados equiprováveis. P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A e B); P(não A) = 1 − P(A).

Média aritmética = soma/quantidade; média ponderada = Σ(peso × valor)/Σpesos; mediana é o valor central dos dados ordenados (média dos dois centrais se n for par).

Múltiplos e divisores: o mmc é útil para somar frações e para eventos periódicos simultâneos; o mdc para repartir em partes iguais do maior tamanho possível. mmc(a,b) · mdc(a,b) = a·b.

Sistemas de equações lineares: resolva por substituição ou adição; o sistema tem solução única quando as razões dos coeficientes são diferentes, nenhuma quando são iguais com termos independentes diferentes, e infinitas quando as três razões coincidem.

Funções: f(x) = ax + b é afim, com taxa de variação a e zero em x = −b/a; f(x) = ax² + bx + c é quadrática, com vértice em x = −b/(2a).

Logaritmos: logₐ(xy) = logₐx + logₐy; logₐ(x/y) = logₐx − logₐy; logₐ(xⁿ) = n·logₐx; logₐb = log b / log a (mudança de base).

Interpretação de gráficos: a área sob o gráfico velocidade × tempo dá a distância percorrida; a inclinação de um gráfico posição × tempo indica a velocidade.