OBMEP flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Critério de divisibilidade por 3

Um número inteiro é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é múltiplo de 3. Exemplo: 4 821 tem soma 15, logo é divisível por 3.

Número primo

Inteiro maior que 1 cujos únicos divisores positivos são 1 e ele mesmo. O 2 é o único primo par; 1 não é primo nem composto.

Mínimo múltiplo comum (mmc)

Menor inteiro positivo que é múltiplo de todos os números dados. Usado para igualar denominadores e para eventos que se repetem em ciclos diferentes.

Máximo divisor comum (mdc)

Maior inteiro positivo que divide todos os números dados. Usado para dividir quantidades em partes iguais do maior tamanho possível.

Soma de frações

Reduza ao mesmo denominador e some os numeradores: a/b + c/d = (ad + bc)/bd. O denominador do resultado pode ser simplificado depois.

Divisão de frações

Dividir por uma fração equivale a multiplicar pela sua inversa: a/b ÷ c/d = a/b × d/c. O divisor deve ser diferente de zero.

Porcentagem

x% de um valor N é (x/100)·N. Aumentos e descontos sucessivos multiplicam fatores: um aumento de 20% corresponde ao fator 1,2.

Regra de três simples

Com grandezas diretamente proporcionais, a/b = c/d. Se forem inversamente proporcionais, use a·b = c·d. Confirme o tipo de proporcionalidade antes.

Razão e proporção

Razão é o quociente entre duas grandezas. Proporção é a igualdade de duas razões, e nela o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Potenciação e propriedades

aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; a⁰ = 1 para a ≠ 0; a⁻ⁿ = 1/aⁿ. A base negativa exige atenção ao sinal.

Notação científica

Escrita na forma a × 10ⁿ, com 1 ≤ a < 10 e n inteiro. Expoente positivo indica número grande; negativo, número menor que 1.

Produtos notáveis

(a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; (a + b)(a − b) = a² − b². Reconhecer o padrão evita erros de expansão.

Fatoração por evidência

Colocar em evidência o fator comum a todos os termos: ax + ay = a(x + y). É o primeiro recurso a tentar em qualquer fatoração.

Equação do 1º grau

Forma ax + b = 0, com a ≠ 0, cuja solução é x = −b/a. Operações feitas em um membro devem ser repetidas no outro.

Fórmula de Bhaskara

Para ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0, calcula-se Δ = b² − 4ac e, se Δ ≥ 0, x = (−b ± √Δ)/(2a). Δ negativo indica ausência de raízes reais.

Soma e produto das raízes

Em ax² + bx + c = 0, a soma das raízes é −b/a e o produto é c/a. Permite montar a equação a partir das raízes conhecidas.

Progressão aritmética

Sequência em que cada termo é obtido somando uma constante r ao anterior. O termo geral é aₙ = a₁ + (n − 1)r e a soma dos n primeiros é n(a₁ + aₙ)/2.

Progressão geométrica

Sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por uma razão q constante. O termo geral é aₙ = a₁·q^(n−1).

Função afim

Lei f(x) = ax + b, com gráfico retilíneo. O coeficiente a é a taxa de variação: positivo indica crescimento, negativo indica decrescimento; b é o valor inicial.

Vértice da parábola

Ponto de máximo ou mínimo de f(x) = ax² + bx + c, com abscissa x = −b/(2a). Se a > 0 o vértice é mínimo; se a < 0, é máximo.

Teorema de Pitágoras

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos: a² = b² + c². Vale apenas para triângulos com ângulo reto.

Razões trigonométricas

Em triângulo retângulo: seno é cateto oposto sobre hipotenusa; cosseno é cateto adjacente sobre hipotenusa; tangente é oposto sobre adjacente.

Lei dos cossenos

Em qualquer triângulo, a² = b² + c² − 2bc·cos Â, em que  é o ângulo oposto ao lado a. Generaliza o Teorema de Pitágoras.

Área do triângulo

Área = (base × altura)/2. Também vale a fórmula de Heron: com semiperímetro p, área = √(p(p−a)(p−b)(p−c)).

Área do círculo

A = πr², em que r é o raio. O comprimento da circunferência é 2πr. Usar π ≈ 3,14 quando o enunciado não indicar outro valor.

Volume de prismas e cilindros

O volume é área da base multiplicada pela altura. No cilindro, V = πr²h. No cubo de aresta a, V = a³.

Princípio multiplicativo

Se uma decisão tem m possibilidades e outra tem n, independentes, o total de combinações é m·n. Base para permutações e combinações.

Combinação simples

C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) conta subconjuntos de k elementos escolhidos entre n, quando a ordem não importa. Se a ordem importa, usa-se arranjo.

Probabilidade de um evento

P(A) = casos favoráveis divididos por casos possíveis, com resultados equiprováveis. A probabilidade é sempre um número entre 0 e 1.

Média aritmética ponderada

Soma dos produtos de cada valor pelo seu peso, dividida pela soma dos pesos. Com pesos iguais, coincide com a média aritmética simples.

Propriedades dos logaritmos

logₐ(xy) = logₐx + logₐy; logₐ(x/y) = logₐx − logₐy; logₐ(xⁿ) = n·logₐx. Exigem base positiva diferente de 1 e logaritmando positivo.

Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes quando têm ângulos correspondentes iguais; então os lados correspondentes são proporcionais e a razão entre áreas é o quadrado da razão de semelhança.