Parc municipal : bordure circulaire, baril cylindrique et rampe d'accès
Le conseil municipal aménage un petit parc. On installe d'abord un carré de sable circulaire de 3,6 m de diamètre, entouré d'une bordure de bois coûtant 12,50 $ le mètre. On ajoute ensuite un baril de récupération d'eau de pluie en forme de cylindre de 0,90 m de diamètre et de 1,10 m de hauteur. Enfin, on doit construire une rampe d'accès pour fauteuils roulants : la porte est à 1,20 m au-dessus du sol et l'espace disponible au sol est de 4,30 m. Le règlement municipal exige une pente maximale de 1:12 (1 m de montée pour 12 m de longueur horizontale) et la rampe elle-même ne peut pas dépasser 4,50 m de longueur. On utilise π ≈ 3,14.
1. Calcule la longueur de la bordure (circonférence) et l'aire du carré de sable. Combien coûte la bordure ? Arrondis au centième.
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Rayon : r = 3,6 ÷ 2 = 1,8 m.
Circonférence : C = 2πr = πd = 3,14 × 3,6 = 11,304 m ≈ 11,30 m. Coût de la bordure : 11,304 × 12,50 = 141,30 $ (environ 141,25 $ à 141,40 $ selon la valeur de π utilisée).
Aire : A = πr² = 3,14 × 1,8² = 3,14 × 3,24 = 10,1736 ≈ 10,17 m².
Attention à ne pas confondre les deux formules : la bordure se calcule avec la circonférence (une longueur, en mètres, qu'on multiplie par un prix au mètre), tandis que l'aire servirait par exemple à calculer la quantité de sable. Le diamètre (3,6 m) ne doit jamais être utilisé à la place du rayon dans la formule de l'aire.
2. Quel volume d'eau, en litres, le baril peut-il contenir ? Combien d'arrosoirs de 12 L peut-on remplir complètement avec un baril plein ?
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Rayon du baril : r = 0,90 ÷ 2 = 0,45 m. Volume : V = πr²h = 3,14 × 0,45² × 1,10 = 3,14 × 0,2025 × 1,10 = 3,14 × 0,22275 = 0,699435 m³
Conversion : 1 m³ = 1 000 L, donc V ≈ 699,4 L (environ 700 L).
Arrosoirs : 699,4 ÷ 12 = 58,28... On ne peut remplir que 58 arrosoirs complets (58 × 12 = 696 L) ; il resterait environ 3,4 L, insuffisant pour un 59e arrosoir.
Il faut arrondir vers le bas ici, car un arrosoir à moitié plein ne compte pas comme rempli : c'est le contexte qui impose le sens de l'arrondi.
3. La rampe projetée respecte-t-elle le règlement ? Justifie avec la pente et la longueur calculées, puis propose une solution.
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Pente avec l'espace disponible (4,30 m de course horizontale) : 1,20 ÷ 4,30 = 0,279, soit une pente d'environ 1:3,6. C'est environ 3,3 fois plus abrupt que la limite de 1:12.
Longueur de la rampe : L = √(4,30² + 1,20²) = √(18,49 + 1,44) = √19,93 ≈ 4,46 m. La longueur est donc conforme (≤ 4,50 m), mais la pente ne l'est pas.
Course exigée par le règlement : pour 1,20 m de montée à 1:12, il faut 1,20 × 12 = 14,40 m de course horizontale, soit une rampe de √(14,40² + 1,20²) ≈ 14,45 m. L'espace de 4,30 m est très insuffisant.
Conclusion : les deux contraintes (pente 1:12 et longueur ≤ 4,50 m) sont incompatibles pour une montée de 1,20 m. Il faut changer de solution : installer une plateforme élévatrice, déplacer l'entrée vers un palier plus bas, ou aménager une rampe en lacets ou en pente de terrain. Une rampe droite de 4,30 m serait dangereuse et non conforme.