Cafétéria : diagramme circulaire, moyenne trompeuse et jeu de hasard
La cafétéria de l'école a sondé 200 élèves sur leur repas préféré. Résultats : pizza 35 %, pâtes 25 %, sandwich 20 %, salade 12 %, autre 8 %. La direction veut un diagramme circulaire pour l'affiche du mois. En parallèle, la cuisinière note le nombre de repas servis pendant 9 jours : 78, 84, 85, 88, 90, 91, 91, 96 et 240 ; le 240 correspond à la journée du tournoi, où des élèves d'une autre école sont venus manger. Enfin, la cafétéria lance un jeu : on lance un dé ordinaire et on tourne une roue à 4 secteurs égaux ; un élève gagne s'il obtient un 6 et le secteur rouge. Sur 30 essais, 2 élèves ont gagné.
1. Calcule l'angle au centre et le nombre d'élèves de chaque secteur du diagramme circulaire. Vérifie que la somme des angles fait bien 360°.
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On convertit chaque pourcentage en angle par la proportion angle = pourcentage × 360°, et en effectif par pourcentage × 200.
- Pizza 35 % : 0,35 × 360 = 126° ; 0,35 × 200 = 70 élèves
- Pâtes 25 % : 0,25 × 360 = 90° ; 50 élèves
- Sandwich 20 % : 0,20 × 360 = 72° ; 40 élèves
- Salade 12 % : 0,12 × 360 = 43,2° ; 24 élèves
- Autre 8 % : 0,08 × 360 = 28,8° ; 16 élèves
Vérification des angles : 126 + 90 + 72 + 43,2 + 28,8 = 360°. Vérification des effectifs : 70 + 50 + 40 + 24 + 16 = 200 élèves.
Les deux vérifications sont indispensables : une erreur de conversion se repère presque toujours par une somme différente de 360° ou de 200.
2. Calcule la moyenne, la médiane et le mode des 9 journées. Laquelle de ces mesures la cuisinière devrait-elle utiliser pour préparer une journée ordinaire ? Justifie.
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Somme : 78 + 84 + 85 + 88 + 90 + 91 + 91 + 96 + 240 = 943. Moyenne : 943 ÷ 9 = 104,8 repas (environ). Données ordonnées : 78, 84, 85, 88, 90, 91, 91, 96, 240 → 5e valeur = médiane 90. Mode : 91 (la seule valeur répétée deux fois).
La moyenne est gonflée par le 240, une journée exceptionnelle liée au tournoi. Sans cette journée, la moyenne serait 703 ÷ 8 = 87,9, beaucoup plus proche de la médiane.
Recommandation : utiliser la médiane (90 repas) ou le mode (91), car ces mesures résistent aux valeurs aberrantes. Préparer 104 ou 105 repas chaque jour ferait perdre de la nourriture 8 jours sur 9. On peut garder la moyenne seulement pour prévoir les journées de tournoi, en la calculant séparément.
3. Compare la probabilité théorique de gagner à la probabilité expérimentale observée. Peut-on conclure que le jeu est truqué ? Justifie.
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Les deux événements sont indépendants : le résultat du dé n'influence pas celui de la roue.
P(gagner) = P(6) × P(rouge) = 1/6 × 1/4 = 1/24 ≈ 0,0417, soit 4,2 %.
Probabilité expérimentale : 2 ÷ 30 = 1/15 ≈ 0,067, soit 6,7 %.
Sur 30 essais, le nombre attendu de gains est 30 × 1/24 = 1,25. Obtenir 2 gains est donc parfaitement normal : l'écart (0,75 gain) est minuscule et s'explique par la variabilité d'un petit échantillon.
Conclusion : on ne peut pas conclure que le jeu est truqué. Pour le vérifier, il faudrait plusieurs centaines d'essais ; la probabilité expérimentale devrait alors se rapprocher de 1/24. Il serait aussi incorrect d'additionner 1/6 et 1/4 : la règle du produit s'applique parce qu'on veut les deux résultats en même temps.