Compost que se enfría y un cerco rectangular
Una estudiante de un liceo técnico modela dos situaciones para su proyecto de huerto escolar. En la primera registra la temperatura del compost: 60 °C al inicio, 48 °C a las 3 horas, 39 °C a las 6 horas y 30 °C a las 12 horas, con una temperatura ambiente estable de 18 °C. Propone el modelo T(t) = 18 + 42·e^(−kt). En la segunda dispone de 24 m de malla para cercar un sector rectangular apoyado en el muro de la bodega, y debe respetar un ancho mínimo de 4 m por seguridad. Un compañero afirma que «con 24 m de malla el área máxima se logra haciendo un cuadrado», sin justificar. El profesor advierte que el modelo térmico podría dejar de ser válido y pide justificar cualquier conclusión con el dominio de la variable. La estudiante debe presentar ambos resultados el viernes y quiere saber si su modelo sirve para predecir y cuándo deja de ser confiable.
1. Estima el valor de k usando los datos y evalúa si el modelo describe aceptablemente las observaciones.
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El modelo separa la temperatura ambiente: T(t) − 18 = 42·e^(−kt). Con t = 3 y T = 48: 30 = 42·e^(−3k), entonces e^(−3k) = 30/42 ≈ 0,7143. Aplicando logaritmo natural: −3k = ln(0,7143) ≈ −0,3365, de donde k ≈ 0,112 h⁻¹.
Validación con los otros datos: a 6 h, T = 18 + 42·e^(−0,673) ≈ 18 + 21,4 = 39,4 °C, frente a 39 °C observados. A 12 h, T = 18 + 42·e^(−1,346) ≈ 18 + 10,9 = 28,9 °C, frente a 30 °C. El ajuste es bueno dentro del intervalo medido. Si se usara el dato de 6 h para estimar k, se obtendría k ≈ 0,116 h⁻¹, muy cercano, lo que muestra robustez. Sin embargo, el modelo supone que la temperatura ambiente no cambia y que el enfriamiento es puramente pasivo; no incorpora la producción de calor biológica del compost.
2. Determina las dimensiones que maximizan el área del cerco y refuta o confirma la afirmación del compañero.
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Sea w el ancho perpendicular al muro y L el lado paralelo al muro. La malla cubre dos anchos y un solo lado largo, porque el cuarto lado es el muro: 2w + L = 24, entonces L = 24 − 2w. El área es A(w) = w(24 − 2w) = −2w² + 24w.
Es una parábola con vértice en w = −24/(2·(−2)) = 6 m. Entonces L = 24 − 12 = 12 m y el área máxima es 6 × 12 = 72 m². El dominio relevante es w ≥ 4 (restricción de seguridad) y L > 0, es decir, w < 12; el vértice cae dentro, así que es el máximo.
El compañero se equivoca: un «cuadrado» de 8 m por lado usaría tres lados de 8 m y daría 64 m², menos que 72 m². La razón es que el muro no consume malla, por lo que conviene alargar el lado paralelo y no repartir la malla en cuatro lados iguales.
3. ¿Hasta qué momento sería razonable usar el modelo para predecir? Apóyate en el comportamiento de la función.
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La función T(t) = 18 + 42·e^(−kt) decrece y se acerca asintóticamente a 18 °C, la temperatura ambiente. Por ejemplo, para T = 25 °C: 7 = 42·e^(−kt), luego e^(−kt) = 1/6 y t = −ln(1/6)/0,112 ≈ 16 horas. Es una predicción aritméticamente correcta, pero debe interpretarse con cautela.
El modelo es razonable dentro del intervalo observado (0 a 12 h) y mientras se mantengan las condiciones: temperatura ambiente constante, mismo volumen de compost y ausencia de volteos o de agregado de material fresco. A tiempos largos predice que el compost se acercará a 18 °C, pero la actividad microbiana puede generar calor y mantenerlo más tibio; además, si se voltea el montón, la curva se reinicia. Por eso conviene declarar el dominio de validez y no usar el modelo para extrapolar mucho más allá de las 12 horas medidas.