Zwei Klassen im Vergleich: Mittelwert oder Median?
An der Stadtteilschule Altona schreiben zwei neunte Klassen eine Mathearbeit. In der 9a sind 20 Schülerinnen und Schüler; ihre Noten lauten: fünf Einsen, vier Zweien und elf Vieren. In der 9b sind ebenfalls 20 Schülerinnen und Schüler; dort wurden zwei Zweien, dreizehn Dreien und fünf Vieren vergeben. Beide Arbeiten wurden von derselben Lehrkraft gestellt und nach dem gleichen Bewertungsschema korrigiert. Die Schulleitung möchte die Klasse mit der besseren „durchschnittlichen“ Leistung auszeichnen und dafür entweder den Mittelwert oder den Median verwenden. Ein Kollege argumentiert, der Mittelwert sei fairer, weil er alle Leistungen berücksichtigt. Eine Kollegin hält den Median für aussagekräftiger, weil einzelne sehr gute oder sehr schwache Ergebnisse den Mittelwert stark verzerren könnten. Die Fachschaft diskutiert außerdem, ob ein Vergleich der beiden Klassen überhaupt sinnvoll ist, wenn die Verteilungen so unterschiedlich sind. Für die Entscheidung sollen beide Kennzahlen berechnet und interpretiert werden.
1. Berechnen Sie für beide Klassen den Mittelwert und den Median der Noten.
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Klasse 9a: Summe = 5·1 + 4·2 + 11·4 = 5 + 8 + 44 = 57. Mittelwert = 57 : 20 = 2,85.
Sortierte Noten: fünf Einsen (Positionen 1–5), vier Zweien (6–9), elf Vieren (10–20). Bei 20 Werten sind die Positionen 10 und 11 entscheidend; beide sind 4. Median = 4,0.
Klasse 9b: Summe = 2·2 + 13·3 + 5·4 = 4 + 39 + 20 = 63. Mittelwert = 63 : 20 = 3,15.
Sortierte Noten: zwei Zweien (1–2), dreizehn Dreien (3–15), fünf Vieren (16–20). Positionen 10 und 11 sind beide 3. Median = 3,0.
Wichtig: Bei Noten ist die kleinere Zahl die bessere Leistung.
2. Erläutern Sie, warum Mittelwert und Median hier zu unterschiedlichen Aussagen führen. Welche Kennzahl beschreibt die typische Leistung in der 9a besser?
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Die 9a hat eine zweigipflige Verteilung: neun sehr gute Noten (1–2) und elf Vieren, aber keine Dreien. Der Mittelwert 2,85 wird durch die vielen Einsen und Zweien nach unten gezogen. Der Median 4,0 sagt dagegen: Mindestens die Hälfte der Klasse hat eine 4 oder schlechter; die „typische“ Schülerin oder der „typische“ Schüler der 9a steht bei 4.
Die 9b ist homogener: Die meisten liegen bei 3, der Median ist 3,0, der Mittelwert 3,15. Hier beschreiben beide Kennzahlen die typische Leistung ähnlich.
Für die 9a beschreibt der Median die typische Leistung besser, weil der Mittelwert durch die starke Gruppe der sehr guten Noten verzerrt wird. Der Mittelwert ist nur dann sinnvoll, wenn man die Gesamtsumme aller Noten als Leistung der Klasse interpretieren möchte.
3. Die Schulleitung möchte die Klasse mit der besseren durchschnittlichen Leistung auszeichnen. Welche Empfehlung geben Sie? Begründen Sie mit beiden Kennzahlen und nennen Sie eine Grenze des Vergleichs.
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Es gibt keine eindeutige Antwort, weil die Kennzahlen unterschiedlich urteilen:
- Mittelwert: 9a = 2,85, 9b = 3,15. Danach ist die 9a besser, weil 2,85 < 3,15.
- Median: 9a = 4,0, 9b = 3,0. Danach ist die 9b besser, weil 3,0 < 4,0.
Empfehlung: Wenn „typische Leistung“ zählt, sollte die 9b ausgezeichnet werden, denn dort steht die Mitte der Klasse bei 3, während in der 9a die Mitte bei 4 liegt. Wenn die Schule dagegen alle Einzelleistungen gleich gewichten will, spricht der Mittelwert für die 9a. Sinnvoller als eine Auszeichnung ist es, beide Kennzahlen zu veröffentlichen und die unterschiedlichen Verteilungen zu erklären.
Grenze des Vergleichs: Die Klassen sind unterschiedlich zusammengesetzt; ein einziger Kennwert kann die Leistungsverteilung nicht vollständig abbilden. Ein Vergleich wäre fairer, wenn man zusätzlich Anteile der Noten, Lerngruppen oder Ausgangsbedingungen betrachtet.