Hamburg ESA Math flashcards

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Punkt-vor-Strich-Regel

Rechenregel: Klammern zuerst, dann Potenzen und Wurzeln, dann Multiplikation und Division, zuletzt Addition und Subtraktion. Innerhalb einer Stufe wird von links nach rechts gerechnet.

Kehrwert eines Bruchs

Der Kehrwert von a/b ist b/a, also Zähler und Nenner vertauscht. Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Der Kehrwert von 0 existiert nicht.

Brüche gleichnamig machen

Brüche werden gleichnamig gemacht, indem man den kleinsten gemeinsamen Nenner (kgV der Nenner) bestimmt und beide Zähler passend erweitert. Erst danach lassen sich Brüche addieren oder subtrahieren.

Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz

Der Grundwert G ist das Ganze (100 %), der Prozentwert W der Anteil und der Prozentsatz p die Anzahl der Hundertstel. Es gilt W = G · p/100, G = W · 100/p und p = W · 100/G.

Prozentualer Änderungsfaktor

Eine Zunahme um p Prozent entspricht dem Faktor 1 + p/100, eine Abnahme dem Faktor 1 − p/100. Mehrere Änderungen hintereinander werden durch Multiplikation ihrer Faktoren verknüpft.

Vermehrter und verminderter Grundwert

Der vermehrte Grundwert entsteht durch Multiplikation mit 1 + p/100, der verminderte durch Multiplikation mit 1 − p/100. Beispiel: 19 % Mehrwertsteuer auf 250 € ergibt 250 · 1,19 = 297,50 €.

Jahreszinsen berechnen

Die Jahreszinsen ergeben sich aus Kapital mal Zinssatz geteilt durch 100: Z = K · p/100. Bei 4 % Zinsen auf 2500 € betragen die Jahreszinsen 100 €.

Zinsen für Monate und Tage

Für m Monate gilt Z = K · p/100 · m/12, für t Tage Z = K · p/100 · t/360. Die kaufmännische Zinsrechnung rechnet mit 360 Tagen pro Jahr und 30 Tagen pro Monat.

Zinseszinsformel

Das Endkapital nach n Jahren ist K_n = K_0 · (1 + p/100)^n. Der Faktor q = 1 + p/100 heißt Aufzinsungsfaktor; Zinsen werden jedes Jahr mitverzinst.

Dreisatz proportional

Bei proportionaler Zuordnung wächst die zweite Größe im gleichen Verhältnis wie die erste. Man rechnet auf 1 Einheit herunter und multipliziert dann mit der gesuchten Menge.

Dreisatz antiproportional

Bei antiproportionaler Zuordnung führt eine Verdopplung der ersten Größe zur Halbierung der zweiten. Das Produkt der beiden Größen bleibt konstant; man rechnet mit dem reziproken Faktor.

Kaufmännisches Runden

Beim Runden auf eine Stelle entscheidet die erste weggelassene Ziffer: 0 bis 4 wird abgerundet, 5 bis 9 wird aufgerundet. Vor dem Runden wird die gesamte Rechnung exakt durchgeführt.

Betrag einer Zahl

Der Betrag |x| ist der Abstand der Zahl x von der Null auf der Zahlengeraden und damit nie negativ. Es gilt |x| = x für x ≥ 0 und |x| = −x für x < 0.

Multiplikation negativer Zahlen

Minus mal Minus ergibt Plus, Minus mal Plus ergibt Minus. Bei mehreren Faktoren ist das Produkt negativ, wenn eine ungerade Anzahl von Faktoren negativ ist, sonst positiv.

Teilbarkeitsregeln

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist, durch 9, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist, und durch 4, wenn die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind.

Primfaktorzerlegung

Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben. Beispiel: 84 = 2 · 2 · 3 · 7. Die Zerlegung hilft beim Kürzen und beim Bestimmen des kgV.

ggT und kgV

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren in der kleinsten Potenz, das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) in der größten Potenz.

Potenzgesetze

Gleiche Basis: a^m · a^n = a^(m+n) und a^m : a^n = a^(m−n). Gleicher Exponent: a^n · b^n = (a·b)^n. Eine Potenz mit Exponent 0 ergibt für a ≠ 0 den Wert 1.

Wurzel als Umkehrung

Die Quadratwurzel √a ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat a ergibt. Für a ≥ 0 gilt √a · √a = a; aus negativen Zahlen existiert keine reelle Quadratwurzel.

Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung formt x² + px in (x + p/2)² − (p/2)² um. Sie löst quadratische Gleichungen und bestimmt den Scheitelpunkt einer Parabel.

Lineare Funktion

Eine lineare Funktion hat die Form f(x) = m·x + b. Dabei ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Der Graph ist eine Gerade durch den Punkt (0|b).

Steigung aus zwei Punkten

Die Steigung einer Geraden durch P(x₁|y₁) und Q(x₂|y₂) ist m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Sie gibt an, um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 wächst.

Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel ist. Daraus folgt c = √(a² + b²) und a = √(c² − b²).

Flächeninhalt Dreieck

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist A = ½ · g · h, wobei g eine Grundseite und h die zugehörige Höhe senkrecht dazu ist. Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundseite.

Fläche und Umfang Kreis

Für einen Kreis mit Radius r gilt A = π · r² und U = 2 · π · r. Der Durchmesser ist d = 2r. Mit π ≈ 3,14159 rechnet man, wenn keine Näherung vorgegeben ist.

Volumen und Oberfläche Quader

Ein Quader mit Länge a, Breite b und Höhe c hat das Volumen V = a · b · c und die Oberfläche O = 2(ab + ac + bc). Die Einheit des Volumens ist kubisch, z. B. cm³.

Volumen Zylinder

Das Volumen eines Zylinders ist V = π · r² · h, also Grundfläche mal Höhe. Die Mantelfläche beträgt M = 2 · π · r · h; die Oberfläche ist O = 2 · π · r² + M.

Einheiten umrechnen Länge

Längeneinheiten steigen in Schritten von 10: 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm. Beim Umrechnen in eine kleinere Einheit wird multipliziert, in eine größere dividiert.

Einheiten umrechnen Fläche und Volumen

Flächeneinheiten steigen in Schritten von 100 (1 m² = 100 dm² = 10 000 cm²), Volumeneinheiten in Schritten von 1000 (1 m³ = 1000 dm³ = 1 000 000 cm³). Außerdem gilt 1 dm³ = 1 Liter.

Maßstab

Ein Maßstab 1 : 200 bedeutet, dass 1 cm auf der Zeichnung 200 cm in der Wirklichkeit entspricht. Die Wirklichkeitslänge ergibt sich durch Multiplikation der Zeichnungslänge mit dem Maßstabsfaktor.

Mittelwert und Median

Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Der Median ist der mittlere Wert der der Größe nach geordneten Liste; bei gerader Anzahl wird das Mittel der beiden mittleren Werte gebildet.

Relative Häufigkeit

Die relative Häufigkeit eines Merkmals ist die absolute Häufigkeit geteilt durch die Gesamtzahl der Beobachtungen. Sie liegt zwischen 0 und 1 und lässt sich als Prozentangabe schreiben.