Hamburg ESA Math key terms

Die vier Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Sie bilden die Basis für alle weiteren Rechenverfahren und werden in der Prüfung ständig vorausgesetzt.

Regeln wie Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz, die erlauben, Terme umzuformen. Das Distributivgesetz a·(b+c)=a·b+a·c wird besonders häufig zum Ausmultiplizieren und Ausklammern genutzt.

Festlegungen zum Rechnen mit positiven und negativen Zahlen: minus mal minus ergibt plus, plus mal minus ergibt minus. Beim Addieren entscheidet das betragsmäßig größere Vorzeichen über das Ergebnis.

Zahlen kleiner als null, dargestellt mit Minuszeichen. Sie liegen links von der Null auf der Zahlengeraden und treten bei Temperaturen, Kontoständen oder Höhenangaben unter dem Meeresspiegel auf.

Eine gerade Linie, auf der jeder Zahl genau ein Punkt zugeordnet ist. Rechts stehen größere, links kleinere Zahlen; sie veranschaulicht Vergleiche, Abstände und das Rechnen mit negativen Zahlen.

Der Abstand einer Zahl von der Null, immer nicht negativ. Man schreibt |−5| = 5. Der Betrag wird gebraucht, wenn nur der Größenunterschied zweier Werte zählt, nicht das Vorzeichen.

Eine ganze Zahl a ist durch b teilbar, wenn die Division ohne Rest aufgeht. Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9 und 10 helfen, Teiler schnell zu erkennen, etwa die Quersummenregel für 3 und 9.

Eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, zum Beispiel 2, 3, 5, 7, 11. Die 1 zählt nicht als Primzahl, weil sie nur einen Teiler hat.

Das Zerlegen einer Zahl in ein Produkt von Primzahlen, etwa 60 = 2·2·3·5. Sie wird genutzt, um den größten gemeinsamen Teiler oder das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen.

Der größte gemeinsame Teiler zweier oder mehrerer Zahlen, also die größte Zahl, die alle ohne Rest teilt. Beispiel: ggT(12, 18) = 6. Nützlich beim Kürzen von Brüchen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier oder mehrerer Zahlen, also die kleinste Zahl, die von allen geteilt wird. Beispiel: kgV(4, 6) = 12. Es dient zum gleichnamigmachen von Brüchen.

Rechnen mit Brüchen aus Zähler und Nenner. Addieren und Subtrahieren erfordern gleiche Nenner, multipliziert wird Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, dividiert wird mit dem Kehrwert.

Ein Quotient der Form a/b, wobei a der Zähler und b der Nenner ist; der Nenner darf nicht null sein. Ein Bruch beschreibt einen Anteil an einem Ganzen oder das Ergebnis einer Division.

Eine Zahl mit Stellen hinter dem Komma, die Bruchteile von Zehnerpotenzen angibt, etwa 0,375. Jeder endliche oder periodische Dezimalbruch lässt sich in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln.

Das Vereinfachen einer Zahl auf eine bestimmte Stelle. Ist die folgende Ziffer 0 bis 4, wird abgerundet, bei 5 bis 9 aufgerundet. Das Ergebnis wird oft mit dem Zeichen ≈ angegeben.

Eine grobe Näherungsrechnung mit gerundeten Zahlen, um ein Ergebnis schnell zu prüfen. Der Überschlag zeigt, in welcher Größenordnung das genaue Resultat liegen muss.

Ein Hundertstel eines Ganzen, geschrieben mit dem Zeichen %. 25 % bedeutet 25 von 100, also den Bruch 1/4 oder die Dezimalzahl 0,25. Prozentangaben vergleichen Anteile unterschiedlicher Größen.

Das Ganze, von dem ein Prozentanteil berechnet wird, also der Wert, der 100 % entspricht. Formel: Grundwert = Prozentwert · 100 / Prozentsatz. Er steht häufig nach dem Wort „von“.

Der absolute Anteil, der einem Prozentsatz vom Grundwert entspricht. Formel: Prozentwert = Grundwert · Prozentsatz / 100. Beispiel: 20 % von 150 € ergeben 30 €.

Der Anteil, ausgedrückt in Prozent, also die Zahl vor dem Prozentzeichen. Formel: Prozentsatz = Prozentwert · 100 / Grundwert. Er gibt an, wie viele Hundertstel des Grundwerts gemeint sind.

Ein Verfahren, um aus zwei bekannten Größen eine dritte zu berechnen, meist in drei Schritten: bekannten Wert auf eins bringen, dann auf den gesuchten Wert hochrechnen. Funktioniert bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen.

Ein Zusammenhang, bei dem sich beide Größen im gleichen Verhältnis ändern: doppelt so viel Menge bedeutet doppelt so hoher Preis. Der Quotient der Größen bleibt dabei konstant.

Ein Zusammenhang, bei dem eine Größe zunimmt, während die andere im gleichen Verhältnis abnimmt: mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit. Das Produkt der beiden Größen bleibt konstant.

Eine Regel, die jedem Wert einer Größe einen Wert einer anderen Größe zuordnet, oft als Tabelle oder Graph dargestellt. Man unterscheidet proportionale, antiproportionale und sonstige Zuordnungen.

Ein sinnvoller Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen, etwa 3x + 5. Ein Term enthält kein Gleichheitszeichen; er lässt sich durch Zusammenfassen oder Ausmultiplizieren vereinfachen.

Ein Platzhalter, meist ein Buchstabe wie x oder y, der für eine unbekannte oder veränderliche Zahl steht. Variablen erlauben es, allgemeine Zusammenhänge als Formel oder Term zu beschreiben.

Das Umformen eines Terms in eine gleichwertige Form, etwa durch Zusammenfassen gleicher Glieder, Ausmultiplizieren oder Ausklammern. Der Wert des Terms ändert sich dabei nicht.

Drei feste Umformungsregeln für Klammerprodukte: (a+b)² = a²+2ab+b², (a−b)² = a²−2ab+b² und (a+b)(a−b) = a²−b². Sie beschleunigen das Ausmultiplizieren und Faktorisieren.

Eine Aussage, dass zwei Terme den gleichen Wert haben, verbunden durch ein Gleichheitszeichen. Eine Gleichung mit einer Unbekannten löst man, indem man sie durch Äquivalenzumformungen isoliert.

Eine Operation auf beiden Seiten einer Gleichung, die die Lösungsmenge nicht verändert, etwa Addieren derselben Zahl oder Multiplizieren mit einer Zahl ungleich null. Sie führt schrittweise zur Lösung.

Die Menge aller Werte, die eine Gleichung oder Ungleichung erfüllen. Man schreibt sie als Menge in geschweiften Klammern, etwa L = {3}; bei keiner Lösung ist sie leer.

Eine Gleichung, in der die Variable nur in der ersten Potenz vorkommt, etwa 4x − 7 = 9. Sie hat höchstens eine Lösung, die man durch Umstellen direkt berechnet.

Eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 mit a ungleich null. Sie kann null, eine oder zwei Lösungen haben, berechnet mit pq-Formel, Mitternachtsformel oder quadratischer Ergänzung.

Der Ausdruck b² − 4ac unter der Wurzel der Lösungsformel einer quadratischen Gleichung. Ist sie positiv, gibt es zwei Lösungen, bei null eine und bei negativem Wert keine reelle Lösung.

Eine Funktion der Form f(x) = m·x + b, deren Graph eine Gerade ist. Der Parameter m gibt die Steigung an, b den y-Achsenabschnitt, also den Schnittpunkt mit der y-Achse.

Der Wert m in einer linearen Funktion; er beschreibt, wie stark die Gerade steigt oder fällt. Man berechnet ihn als Höhenunterschied geteilt durch Horizontalunterschied zweier Punkte.

Der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet, bei linearen Funktionen der Wert b in f(x) = m·x + b. An dieser Stelle ist x gleich null.

Ein System aus waagerechter x-Achse und senkrechter y-Achse, in dem Punkte als Zahlenpaare (x|y) eingetragen werden. Es dient dazu, Funktionen und Zuordnungen grafisch darzustellen.

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel ist. Mit ihm lassen sich fehlende Seitenlängen berechnen.

Ein Dreieck mit einem Winkel von genau 90 Grad. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende längste Seite heißt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten heißen Katheten.

Die Größe einer ebenen Figur, gemessen in Quadrateinheiten wie cm². Für Rechteck, Dreieck und Kreis gibt es feste Formeln, etwa A = a·b oder A = ½·g·h.

Die Länge des Randes einer ebenen Figur, gemessen in Längeneinheiten wie cm. Beim Rechteck gilt U = 2·(a+b), beim Kreis U = π·d.

Der Rauminhalt eines Körpers, gemessen in Kubikeinheiten wie cm³. Beim Quader gilt V = Länge · Breite · Höhe; bei Prismen multipliziert man die Grundfläche mit der Höhe.

Die Summe aller Begrenzungsflächen eines Körpers, angegeben in Quadrateinheiten. Beim Würfel mit Kantenlänge a gilt O = 6·a², beim Quader werden alle sechs Rechteckflächen addiert.

Eine ebene Figur, deren Punkte alle den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben. Fläche A = π·r², Umfang U = 2·π·r; der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius.

Das Umwandeln von Maßeinheiten, etwa 1 km = 1000 m oder 1 m² = 10000 cm². Bei Flächen gilt der Faktor zum Quadrat, bei Volumen zur dritten Potenz.

Der Durchschnitt mehrerer Werte, berechnet als Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Er beschreibt die mittlere Lage einer Datenreihe, reagiert aber empfindlich auf Ausreißer.

Der mittlere Wert einer der Größe nach sortierten Datenreihe. Bei gerader Anzahl wird der Durchschnitt der beiden mittleren Werte genommen; Ausreißer beeinflussen ihn kaum.

Die Anzahl, wie oft ein Wert in einer Datenreihe vorkommt. Absolute Häufigkeiten sind Anzahlen, relative Häufigkeiten geben den Anteil am Ganzen an, oft als Prozent oder Bruch.

Eine grafische Darstellung von Daten, etwa als Säulen-, Balken-, Kreis- oder Liniendiagramm. Die Wahl der Darstellung beeinflusst, welche Aussage über die Daten besonders auffällt.