Handytarife im Vergleich: Break-even richtig bestimmen
Die Schülerin Lena vergleicht zwei Handytarife für ihren monatlichen Bedarf. Tarif A kostet 9,90 € Grundgebühr pro Monat und zusätzlich 0,09 € pro Gesprächsminute. Tarif B kostet 19,90 € Grundgebühr pro Monat; damit sind die ersten 100 Gesprächsminuten abgedeckt, jede weitere Minute kostet 0,05 €. SMS und Datenvolumen sind bei beiden Tarifen identisch und bleiben außer Betracht. Lena schätzt, dass sie zwischen 40 und 220 Minuten pro Monat telefoniert; besonders häufig liegt sie nach eigener Erinnerung bei etwa 120 Minuten. Ihr Vater meint, der Tarif mit der niedrigeren Grundgebühr sei immer günstiger. Ihre Freundin behauptet, Tarif B lohne sich bereits ab 100 Minuten, weil dann die Freiminuten aufgebraucht seien. Lena möchte keine falsche Entscheidung treffen und rechnet deshalb zunächst die Kosten für einige Beispielwerte durch. Für die Entscheidung soll sie auch den Break-even-Punkt bestimmen und ihre unsichere Einschätzung berücksichtigen.
1. Stellen Sie für beide Tarife eine Kostengleichung in Abhängigkeit von der Minutenanzahl x auf und berechnen Sie die Kosten bei 120 Minuten.
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Tarif A: A(x) = 9,90 + 0,09·x, gültig für x ≥ 0.
Tarif B: B(x) = 19,90 für 0 ≤ x ≤ 100; für x > 100 gilt B(x) = 19,90 + 0,05·(x − 100).
Bei x = 120:
- A(120) = 9,90 + 0,09·120 = 9,90 + 10,80 = 20,70 €
- B(120) = 19,90 + 0,05·20 = 19,90 + 1,00 = 20,90 €
Bei 120 Minuten ist Tarif A also um 0,20 € günstiger. Die Behauptung der Freundin, B lohne sich schon ab 100 Minuten, ist damit noch nicht belegt.
2. Bestimmen Sie rechnerisch, ab welcher Minutenanzahl Tarif B günstiger ist als Tarif A. Prüfen Sie auch den Bereich bis 100 Minuten.
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Bereich bis 100 Minuten: B(x) = 19,90. Gleichsetzen mit A: 9,90 + 0,09x = 19,90 → 0,09x = 10 → x ≈ 111,1. Dieser Wert liegt außerhalb des Bereichs bis 100; dort ist A also immer günstiger. Bei x = 100: A = 18,90 €, B = 19,90 €.
Bereich über 100 Minuten: 9,90 + 0,09x = 19,90 + 0,05·(x − 100).
Rechte Seite vereinfachen: 19,90 + 0,05x − 5 = 14,90 + 0,05x.
Gleichung: 9,90 + 0,09x = 14,90 + 0,05x → 0,04x = 5 → x = 125.
Bei 125 Minuten sind beide Tarife gleich teuer (21,15 €). Für x > 125 ist B günstiger, für x < 125 A. Die 100-Minuten-Grenze ist nur der Beginn der Zusatzkosten, nicht der Break-even.
3. Lena telefoniert zwischen 40 und 220 Minuten, oft etwa 120 Minuten. Welchen Tarif empfehlen Sie? Wie sollte sie entscheiden, wenn sie ihre Nutzung kaum einschätzen kann?
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Beispielwerte:
- 40 Minuten: A = 9,90 + 3,60 = 13,50 €; B = 19,90 € → A günstiger.
- 120 Minuten: A = 20,70 €; B = 20,90 € → A leicht günstiger.
- 220 Minuten: A = 9,90 + 19,80 = 29,70 €; B = 19,90 + 0,05·120 = 25,90 € → B günstiger.
Der Break-even liegt bei 125 Minuten. Da Lena oft bei etwa 120 Minuten liegt, ist Tarif A die naheliegende Wahl; sie spart gegenüber B bei 120 Minuten 0,20 € und bei 40 Minuten 6,40 €. Nur wenn sie regelmäßig über 125 Minuten kommt, lohnt B.
Bei unsicherer Nutzung sollte sie nicht nur den Erinnerungswert nehmen, sondern zwei bis drei Monate die tatsächlichen Minuten notieren. Als risikoärmere Wahl kann sie zunächst A nehmen, weil die Grundgebühr niedriger ist und hohe Kosten erst bei sehr viel Telefonieren entstehen. Wer sicher oft mehr als 125 Minuten telefoniert, wählt B.