Wirkstoffkonzentration: Maximalwert, Wirkdauer und Modellkritik
Ein Patient erhält zu Beginn einer Behandlung ein Schmerzmittel. Die Konzentration im Blut wird für t ≥ 0 (in Stunden) durch c(t) = a·t·e^(−b·t) beschrieben, wobei a, b > 0 modellabhängige Konstanten sind. Zwei Messungen liegen vor: Das Maximum der Konzentration tritt nach 2 Stunden auf und beträgt 15 mg/L; nach 8 Stunden sind noch etwa 2,99 mg/L messbar. Die Klinik möchte, dass die Konzentration mindestens 6 Stunden lang über 5 mg/L bleibt, weil sonst eine Zwischendosis nötig wäre. Ein Praktikant schlägt vor, die Anfangssteigung zu ignorieren, da c(0) = 0 sei; eine Ärztin bezweifelt jedoch, dass das Modell den frühen Verlauf sinnvoll abbildet. Zudem soll geprüft werden, ob die Messungen mit einer anderen Steifigkeit b vereinbar wären.
1. Bestimme a und b aus den beiden Messungen. Zeige dabei, dass die Maximumsbedingung t = 1/b liefert.
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Mit der Produktregel gilt c'(t) = a·e^(−b·t) − a·b·t·e^(−b·t) = a·e^(−b·t)·(1 − b·t).
Ein inneres Maximum liegt vor, wenn c'(t) = 0 und der Faktor (1 − b·t) verschwindet, also t = 1/b. Da das Maximum laut Messung bei t = 2 liegt, folgt b = 1/2.
Einsetzen von t = 2 und c(2) = 15 ergibt 15 = a·2·e^(−1), also a = 15·e/2 ≈ 20,39.
Kontrolle mit t = 8: c(8) ≈ 20,39·8·e^(−4) ≈ 2,99 mg/L. Das passt zur zweiten Messung. Damit ist c(t) ≈ 20,39·t·e^(−0,5·t).
2. Prüfe, ob die Konzentration mindestens 6 Stunden lang über 5 mg/L bleibt. Bestimme dazu die beiden Zeitpunkte, an denen c(t) = 5 gilt, näherungsweise.
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Zu lösen ist 20,39·t·e^(−0,5·t) = 5, also t·e^(−0,5·t) ≈ 0,2453.
Numerisch ergeben sich zwei Lösungen, weil die Funktion erst steigt und nach t = 2 wieder fällt: t₁ ≈ 0,28 h und t₂ ≈ 6,58 h.
Zwischen diesen beiden Zeitpunkten liegt c(t) über 5 mg/L. Die Dauer beträgt also etwa 6,58 − 0,28 = 6,30 Stunden. Die Forderung von mindestens 6 Stunden ist damit knapp erfüllt.
Wichtig ist die Angabe der Einheit und die Interpretation: Der Zeitraum beginnt kurz nach der Einnahme und endet nach etwa 6,6 Stunden; eine Zwischendosis wäre erst danach nötig.
3. Beurteile die Modellannahme c(0) = 0 und das Langzeitverhalten. Erläutere außerdem, welche Konsequenz eine höhere Steifigkeit b bei gleichem Maximum für die Wirkdauer hätte.
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Die Annahme c(0) = 0 ist mathematisch bequem, aber medizinisch vereinfachend: Nach der Einnahme muss der Wirkstoff erst resorbiert werden; ein sofortiger Anstieg mit c'(0) = a > 0 ist daher nur eine Näherung. Das Modell beschreibt eher die Phase nach der Resorption.
Für große t dominiert der Faktor e^(−b·t); die Konzentration fällt exponentiell gegen 0. Das ist plausibel für einen Abbauprozess, sagt aber nichts über mögliche Spätwirkungen aus.
Bei gleichem Maximum 15 mg/L und größerem b liegt das Maximum bei t = 1/b früher. Wegen c(1/b) = a/(b·e) muss a = 15·b·e gewählt werden. Die Kurve ist dann schmaler; die Zeit über 5 mg/L wird in der Regel kürzer. Eine höhere Steifigkeit bedeutet also eine schnellere Wirkstoffflut und einen schnelleren Abfall, nicht eine längere Wirkdauer.