Schleswig-Holstein Abitur Math flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Ableitung e-Funktion

Für f(x) = e^x gilt f'(x) = e^x. Bei f(x) = e^{kx} ist f'(x) = k·e^{kx}; die Kettenregel liefert den Faktor k aus der inneren Ableitung.

Kettenregel

Für verkettete Funktionen f(x) = u(v(x)) gilt f'(x) = u'(v(x))·v'(x). Äußere Ableitung an der inneren Stelle mal innere Ableitung.

Produktregel

Für f(x) = u(x)·v(x) gilt f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x). Beide Faktoren werden abwechselnd abgeleitet und die Terme addiert.

Quotientenregel

Für f(x) = u(x)/v(x) mit v(x) ≠ 0 gilt f'(x) = (u'(x)·v(x) − u(x)·v'(x)) / (v(x))². Der Nenner wird quadriert.

Hinreichende Bedingung Extremstelle

Ist f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0, liegt ein Hochpunkt vor; bei f''(x₀) > 0 ein Tiefpunkt. Bei f''(x₀) = 0 entscheidet der Vorzeichenwechsel von f'.

Wendepunkt

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0 gilt. Dort wechselt das Krümmungsverhalten des Graphen; zusätzlich f'(x₀) = 0 ergibt einen Sattelpunkt.

Tangentengleichung

Die Tangente an f im Punkt (a|f(a)) lautet t(x) = f'(a)·(x − a) + f(a). Die Ableitung an der Stelle a liefert die Steigung.

Hauptsatz der Differentialrechnung

Für eine Stammfunktion F von f gilt ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a). Damit werden bestimmte Integrale über Stammfunktionen berechnet.

Fläche zwischen Graphen

Der Inhalt der Fläche zwischen f und g über [a;b] ist ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)|dx. Schnittstellen von f und g begrenzen die Teilintervalle.

Partielle Integration

∫ u'(x)·v(x)dx = u(x)·v(x) − ∫ u(x)·v'(x)dx. Sie wird eingesetzt, wenn das Produkt aus einem leicht integrierbaren und einem leicht ableitbaren Faktor besteht.

Beschränktes Wachstum

Modell f(t) = S − (S − f(0))·e^{−kt} mit Sättigungsgrenze S und k > 0. Die Änderungsrate ist proportional zur Differenz zwischen Grenze und Bestand.

Skalarprodukt

a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a⃗|·|b⃗|·cos φ. Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt null ist.

Betrag eines Vektors

|a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²) ist die Länge des Vektors. Der Abstand zweier Punkte A und B ist der Betrag des Verbindungsvektors AB⃗.

Kreuzprodukt

a⃗ × b⃗ = (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁) steht senkrecht auf a⃗ und b⃗. Sein Betrag ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.

Parameterform der Ebene

E: x⃗ = a⃗ + s·u⃗ + t·v⃗ mit Stützvektor a⃗ und zwei nicht parallelen Spannvektoren u⃗ und v⃗. Die Parameter s und t durchlaufen alle reellen Zahlen.

Normalenform der Ebene

n⃗·(x⃗ − a⃗) = 0 mit einem Normalenvektor n⃗ senkrecht zur Ebene und Stützvektor a⃗. Ausmultipliziert ergibt sie die Koordinatenform n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d.

Abstand Punkt–Ebene

Für E: ax₁ + bx₂ + cx₃ = d und P(p₁|p₂|p₃) gilt d(P,E) = |ap₁ + bp₂ + cp₃ − d| / √(a² + b² + c²). Der Zähler wird durch die Norm des Normalenvektors geteilt.

Lage Gerade–Ebene

Ist u⃗·n⃗ ≠ 0, schneidet die Gerade die Ebene in genau einem Punkt. Bei u⃗·n⃗ = 0 ist die Gerade parallel oder liegt ganz in der Ebene.

Lage zweier Geraden

Sind die Richtungsvektoren linear abhängig, sind die Geraden parallel oder identisch. Andernfalls schneiden sie sich oder sind windschief, je nach Lösbarkeit des Gleichungssystems.

Winkel zwischen Geraden

Für den Schnittwinkel zweier Geraden mit Richtungsvektoren u⃗ und v⃗ gilt cos φ = |u⃗·v⃗| / (|u⃗|·|v⃗|). Der Betrag sorgt für einen Winkel zwischen 0° und 90°.

Winkel Gerade–Ebene

Für den Winkel φ zwischen Gerade mit Richtungsvektor u⃗ und Ebene mit Normalenvektor n⃗ gilt sin φ = |u⃗·n⃗| / (|u⃗|·|n⃗|). Der Winkel liegt zwischen 0° und 90°.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt P(A) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl möglicher Ergebnisse. Für das Gegenereignis gilt P(Ā) = 1 − P(A).

Binomialverteilung

P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^{n−k} beschreibt die Trefferzahl in einer Bernoulli-Kette. Dabei ist C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) der Binomialkoeffizient.

Erwartungswert binomialverteilt

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit Parametern n und p gilt μ = n·p. Der Erwartungswert ist die mittlere Trefferzahl bei vielen Wiederholungen.

Standardabweichung binomialverteilt

Für binomialverteiltes X gilt σ = √(n·p·(1−p)). Die Varianz ist σ² = n·p·(1−p); σ gibt die typische Streuung um den Erwartungswert an.

Sigma-Regeln

Näherungsweise gilt P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0,683, P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 0,954 und P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 0,997 für binomialverteiltes X bei σ > 3.

Pfad- und Summenregel

Im Baumdiagramm werden Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner zugehörigen Pfade.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) mit P(B) > 0 ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist. Sie verändert die Bezugsmenge.

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn P(A∩B) = P(A)·P(B) gilt. Äquivalent dazu ist P(A|B) = P(A) bei P(B) > 0.

Mindestens ein Treffer

Für mindestens einen Treffer gilt P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1−p)^n. Das Gegenereignis ist „kein einziger Treffer“.

Fehler 1. Art

Der Fehler 1. Art tritt auf, wenn die Nullhypothese H₀ verworfen wird, obwohl sie in Wahrheit zutrifft. Seine Wahrscheinlichkeit ist durch das Signifikanzniveau α begrenzt.

Bernoulli-Kette

Eine Bernoulli-Kette besteht aus n unabhängigen Versuchen mit jeweils gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p. Nur dann ist die Trefferzahl binomialverteilt mit den Parametern n und p.