Schleswig-Holstein Abitur Math cheat sheet

Ableitungsregeln: Produktregel (u·v)' = u'v + uv'; Quotientenregel (u/v)' = (u'v − uv')/v²; Kettenregel [u(v(x))]' = u'(v(x))·v'(x).

e-Funktion: (e^x)' = e^x; (e^{kx})' = k·e^{kx}. ln-Regel: (ln x)' = 1/x für x > 0; Stammfunktion ∫(1/x)dx = ln|x| + C.

Notwendige Bedingung für Extremstelle: f'(x₀) = 0. Hinreichend: f''(x₀) < 0 → Hochpunkt, f''(x₀) > 0 → Tiefpunkt; bei f''(x₀) = 0 Vorzeichenwechsel von f' prüfen.

Wendepunkt: f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0; Krümmungswechsel. Sattelpunkt zusätzlich f'(x₀) = 0.

Tangentengleichung an der Stelle a: t(x) = f'(a)·(x − a) + f(a). Normale: Steigung −1/f'(a) für f'(a) ≠ 0.

Substitutionsregel: ∫f(g(x))·g'(x)dx = F(g(x)) + C. Partielle Integration: ∫u'v dx = uv − ∫uv' dx.

Hauptsatz: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a). Fläche zwischen zwei Graphen: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)|dx, Schnittstellen als Grenzen bestimmen.

Wachstum: exponentiell f(t) = a·e^{kt} mit k > 0 Zunahme, k < 0 Abnahme; beschränktes Wachstum f(t) = S − (S − f(0))·e^{−kt} mit Sättigungsgrenze S.

Grenzwertverhalten für ganzrationale Funktionen: höchste Potenz im Zähler und Nenner bestimmen; bei gebrochen-rationalen Funktionen entscheidet der Gradvergleich über waagerechte Asymptote oder Polstelle.

Skalarprodukt: a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a⃗||b⃗|cos φ. Orthogonal genau dann, wenn a⃗·b⃗ = 0.

Betrag: |a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²). Abstand zweier Punkte: |AB⃗|.

Kreuzprodukt a⃗ × b⃗ liefert einen zu beiden Vektoren orthogonalen Normalenvektor; Betrag = Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.

Gerade: g: x⃗ = a⃗ + t·u⃗. Ebene in Parameterform: E: x⃗ = a⃗ + s·u⃗ + t·v⃗; in Normalenform: n⃗·(x⃗ − a⃗) = 0; Koordinatenform: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d.

Abstand Punkt–Ebene (Koordinatenform ax₁+bx₂+cx₃ = d): d(P,E) = |a·p₁ + b·p₂ + c·p₃ − d| / √(a² + b² + c²).

Lagebeziehungen Gerade–Ebene: u⃗·n⃗ ≠ 0 → genau ein Schnittpunkt; u⃗·n⃗ = 0 und Punkt in E → Gerade liegt in E; sonst parallel ohne Schnitt.

Lage zweier Geraden: Richtungsvektoren linear abhängig? Dann parallel oder identisch (Punktprobe); sonst Schnittpunkt über Gleichungssystem oder windschief.

Schnittwinkel: cos φ = |u⃗·v⃗| / (|u⃗||v⃗|) für Geraden; Winkel Gerade–Ebene über sin φ = |u⃗·n⃗| / (|u⃗||n⃗|).

Kreuzprodukt-Merkregel: n⃗ = u⃗ × v⃗ hat Komponenten (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁).

Laplace-Wahrscheinlichkeit: P(A) = |A|/|Ω| bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. Gegenereignis: P(Ā) = 1 − P(A).

Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^{n−k}; Erwartungswert μ = n·p, Varianz σ² = n·p·(1−p), Standardabweichung σ = √(n·p·(1−p)).

Kumulierte Wahrscheinlichkeit: P(X ≤ k) = Σ_{i=0}^{k} C(n,i)·p^i·(1−p)^{n−i}; Tabellen oder Summation nutzen.

Mindestens-/höchstens-Aufgaben: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1−p)^n; „mindestens k“ über Gegenereignis P(X ≤ k−1) berechnen.

Sigma-Regeln (näherungsweise für σ > 3): P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0,683; P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 0,954; P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 0,997.

Baumdiagramm: Pfadregel (Multiplikation entlang eines Pfades), Summenregel (Addition der Pfadwahrscheinlichkeiten). Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A∩B)/P(B).

Stochastische Unabhängigkeit: P(A∩B) = P(A)·P(B), äquivalent P(A|B) = P(A).

Hypothesentest: Nullhypothese H₀, Signifikanzniveau α; Ablehnungsbereich so bestimmen, dass P(X im Ablehnungsbereich | H₀) ≤ α. Fehler 1. Art = H₀ verworfen, obwohl wahr.

Bernoulli-Kette: n unabhängige Versuche mit konstantem p; Voraussetzung für Binomialverteilung prüfen (feste Trefferwahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit).