Rampenübergang: Randbedingungen reichen nicht für die Steigungsvorgabe
Eine neue Umgehungsstraße geht bei x = 0 von einer ebenen Landstraße (y = 0) ab und erreicht bei x = 40 eine Brückendecke der Höhe 6 m (Angaben in Metern). Der Übergang soll durch eine ganzrationale Funktion f dritten Grades auf 0 ≤ x ≤ 40 modelliert werden. An beiden Anschlussstellen sollen Höhe und Steigung stetig anschließen: Bei x = 0 verläuft die Landstraße horizontal, bei x = 40 hat die Brückendecke eine Steigung von 8 % (also f'(40) = 0,08). Die Bauleitung prüft, ob die Trasse die Vorgabe einhält, dass die Steigung auf dem gesamten Übergang höchstens 8 % betragen darf. Ein Ingenieur vermutet, dass die Randbedingungen bereits ausreichen, weil Anfang und Ende der Rampe unkritisch seien. Ein zweiter Vorschlag sieht eine quadratische Übergangsfunktion vor, die optisch glatter wirken soll.
1. Bestimme den Funktionsterm von f.
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Ansatz: f(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d.
Aus f(0) = 0 folgt d = 0. Aus f'(x) = 3a·x² + 2b·x + c und f'(0) = 0 folgt c = 0.
Es bleiben f(40) = 6 und f'(40) = 0,08:
- 64000a + 1600b = 6
- 4800a + 80b = 0,08
Aus 2) folgt b = 0,001 − 60a. Einsetzen in 1): 64000a + 1600(0,001 − 60a) = 6, also 64000a + 1,6 − 96000a = 6. Damit ist −32000a = 4,4 und a = −0,0001375. Daraus b = 0,001 − 60·(−0,0001375) = 0,00925.
Also f(x) = −0,0001375·x³ + 0,00925·x².
2. Prüfe die Vorgabe „Steigung höchstens 8 %“. Bestimme dazu das Maximum von f' auf [0, 40].
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Es gilt f'(x) = −0,0004125·x² + 0,0185·x.
Die Ableitung von f' ist f''(x) = −0,000825·x + 0,0185. Nullsetzen liefert x = 0,0185/0,000825 ≈ 22,42.
Dort ist f'(22,42) ≈ −0,0004125·22,42² + 0,0185·22,42 ≈ 0,2074, also etwa 20,7 %.
An den Rändern gilt f'(0) = 0 und f'(40) = 0,08. Das Maximum der Steigung liegt also im Inneren und beträgt rund 20,7 %. Die Vorgabe von höchstens 8 % wird deutlich verletzt.
3. Erläutere, warum eine quadratische Funktion die vier Anschlussbedingungen nicht erfüllen kann, und beurteile die Vermutung des Ingenieurs.
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Eine quadratische Funktion hat drei frei wählbare Koeffizienten. Hier werden aber vier Bedingungen gestellt: f(0) = 0, f'(0) = 0, f(40) = 6 und f'(40) = 0,08. Im Allgemeinen ist ein quadratischer Ansatz damit überbestimmt und nicht lösbar; man müsste auf eine Bedingung verzichten, etwa auf die Steigung am Ende.
Die Vermutung des Ingenieurs ist falsch: Die Randsteigungen sind unkritisch, aber die Krümmung der kubischen Funktion erzeugt dazwischen eine deutlich größere Steigung. Gerade weil Anfang und Ende flach sind, muss die Rampe in der Mitte steiler werden, um die Höhendifferenz zu überwinden. Eine Prüfung nur an den Anschlussstellen ersetzt keine Extremwertuntersuchung im Inneren.