Drohnenflugbahnen: Windschiefe Geraden und eingeschränkte Flugfenster
Zwei Vermessungsdrohnen bewegen sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Ihre Positionen werden in einem kartesischen Koordinatensystem in Metern beschrieben: Drohne A folgt der Geraden g_A: r(s) = (2; −1; 3) + s·(1; 2; −1), Drohne B der Geraden g_B: q(t) = (5; 5; 1) + t·(−1; 1; 2). Die Flugfenster sind s, t ∈ [0, 10]; dabei entsprechen die Parameter näherungsweise der Flugzeit in Sekunden. Aus Sicherheitsgründen muss der Abstand der beiden Drohnen mindestens 0,8 m betragen. Ein Fluglotse hat berechnet, dass die beiden idealen Geraden einen Minimalabstand von etwa 0,51 m haben, und will den Start sofort abbrechen. Die Einsatzleitung weist darauf hin, dass dieser Wert außerhalb der tatsächlichen Flugfenster liegen könnte. Zusätzlich wird geprüft, ob eine Verlängerung des zweiten Flugfensters auf t ∈ [−1, 10] den Konflikt verschärft.
1. Zeige, dass g_A und g_B windschief sind, und berechne ihren minimalen Abstand ohne Berücksichtigung der Flugfenster.
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Die Richtungsvektoren sind u = (1; 2; −1) und v = (−1; 1; 2). Ihr Kreuzprodukt ist u × v = (5; −1; 3); es ist nicht der Nullvektor, die Geraden sind also nicht parallel.
Der Verbindungsvektor der Stützpunkte ist w = (5; 5; 1) − (2; −1; 3) = (3; 6; −2).
Der Abstand windschiefer Geraden ist der Betrag der Projektion von w auf die gemeinsame Normale: d = |w·(u × v)| / |u × v|.
Damit ist d = |3·5 + 6·(−1) + (−2)·3| / √(25 + 1 + 9) = |15 − 6 − 6| / √35 = 3/√35 ≈ 0,507 m.
Der Wert ist nicht null, also sind die Geraden windschief; ihr minimaler Abstand beträgt etwa 0,51 m.
2. Untersuche, ob im tatsächlichen Flugfenster s, t ∈ [0, 10] der Sicherheitsabstand von 0,8 m unterschritten wird.
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Für den unconstrained kürzesten Abstand müssen die Verbindungsvektoren senkrecht auf beiden Richtungen stehen. Mit w = (3; 6; −2) ergeben sich die Gleichungen:
w·u − s·u·u + t·v·u = 0 und w·v − s·u·v + t·v·v = 0.
Mit u·u = 6, v·v = 6, u·v = −1, w·u = 17 und w·v = −1 folgt: 6s + t = 17 und s + 6t = 1.
Die Lösung ist s = 101/35 ≈ 2,89 und t = −11/35 ≈ −0,31. Der kritische Punkt von B liegt also bei negativem t und damit außerhalb des Flugfensters.
Für festes t ist der minimale Abstand eine konvexe quadratische Funktion in t; ihr Scheitelpunkt liegt bei t ≈ −0,31. Auf t ≥ 0 wächst der Abstand daher zunächst an. Das Minimum im Flugfenster tritt bei t = 0 auf.
Für t = 0 liegt B bei (5; 5; 1). Der Fußpunkt auf g_A ergibt sich aus der Projektion von B − A₀ = (3; 6; −2) auf u: (17/6). Der Punkt ist (2; −1; 3) + (17/6)·(1; 2; −1) = (29/6; 14/3; 1/6). Der Abstand zu B ist dann √((1/6)² + (1/3)² + (5/6)²) = √(5/6) ≈ 0,913 m.
Damit wird der Sicherheitsabstand von 0,8 m im tatsächlichen Flugfenster nicht unterschritten.
3. Beurteile die Verlängerung auf t ∈ [−1, 10]. Gehe dabei auf die Rolle des berechneten Wertes 0,51 m ein.
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Mit t ∈ [−1, 10] liegt der unconstrained kritische Parameter t ≈ −0,31 im zulässigen Bereich. Dann wird der minimale Abstand von etwa 0,507 m tatsächlich erreicht.
Dieser Wert liegt unter 0,8 m; die Drohnen würden den Sicherheitsabstand also verletzen. Die Warnung des Fluglotsen ist damit nicht falsch, sondern bezieht sich auf ein anderes Flugfenster als das ursprünglich geplante.
Die mathematische Konsequenz ist, dass man bei Abstandsuntersuchungen immer die Definitionsbereiche der Parameter mitprüfen muss. Ein globaler Minimalabstand zweier Geraden ist nur dann relevant, wenn die zugehörigen Parameter auch tatsächlich erlaubt sind.