Lieferanten und Testergebnis: Base Rate und Spezifität
Ein Zulieferer bezieht Bauteile von zwei Werken. Werk A liefert 60 %, Werk B 40 % der Teile. Die Ausschussquote beträgt in A 2 %, in B 8 %. Ein automatischer Test soll defekte Teile erkennen; seine Sensitivität liegt bei 95 %, seine Spezifität bei 90 %. Das bedeutet: Ein defektes Teil wird mit 95 % erkannt, ein intaktes Teil wird mit 90 % als intakt gemeldet. Ein Teil wird zufällig aus der Tagesproduktion entnommen und getestet; der Test ist positiv. Die Qualitätsleitung möchte wissen, wie belastbar ein positiver Test ist, und ob eine Verbesserung der Spezifität auf 95 % ausreicht, um bei einem positiven Testergebnis mit mindestens 50 % Wahrscheinlichkeit tatsächlich ein defektes Teil vor sich zu haben. Ein Controller argumentiert, die hohe Sensitivität mache die Herkunft des Teils praktisch irrelevant. Zusätzlich soll geprüft werden, ob ein positiver Test eher auf Werk B hindeutet.
1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Teil bei positivem Test tatsächlich defekt ist.
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Sei D das Ereignis „defekt“ und + das Ereignis „Test positiv“. Zuerst wird die Gesamtausschussquote bestimmt: P(D) = 0,6·0,02 + 0,4·0,08 = 0,012 + 0,032 = 0,044.
Damit ist P(nicht D) = 0,956. Mit Sensitivität 0,95 und Spezifität 0,90 gilt P(+ | D) = 0,95 und P(+ | nicht D) = 0,10.
Satz von Bayes: P(D | +) = [P(+ | D)·P(D)] / [P(+ | D)·P(D) + P(+ | nicht D)·P(nicht D)] = (0,95·0,044) / (0,95·0,044 + 0,10·0,956) = 0,0418 / (0,0418 + 0,0956) = 0,0418 / 0,1374 ≈ 0,304.
Ein positives Testergebnis bedeutet also nur mit etwa 30,4 % Wahrscheinlichkeit, dass das Teil tatsächlich defekt ist. Der Grund ist die niedrige Ausschussquote: Viele intakte Teile erzeugen trotz guter Spezifität falsch-positive Ergebnisse.
2. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getestetes Teil aus Werk B stammt.
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Für Werk B gilt: P(B) = 0,4, P(D | B) = 0,08, P(nicht D | B) = 0,92.
Die Wahrscheinlichkeit eines positiven Tests innerhalb von B ist: P(+ | B) = 0,08·0,95 + 0,92·0,10 = 0,076 + 0,092 = 0,168.
Damit ist P(B und +) = 0,4·0,168 = 0,0672.
Mit P(+) = 0,1374 aus der vorigen Teilaufgabe folgt: P(B | +) = 0,0672 / 0,1374 ≈ 0,489.
Ein positiv getestetes Teil stammt also mit etwa 48,9 % Wahrscheinlichkeit aus Werk B, obwohl B nur 40 % der Produktion liefert. Das liegt an der höheren Ausschussquote in B.
3. Prüfe, ob eine Spezifität von 95 % genügt, um P(D | +) ≥ 0,5 zu erreichen. Bestimme gegebenenfalls die nötige Spezifität.
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Bei Spezifität 95 % ist die Falsch-positiv-Rate q = 0,05. Dann gilt: P(+) = 0,0418 + 0,956·0,05 = 0,0418 + 0,0478 = 0,0896.
P(D | +) = 0,0418 / 0,0896 ≈ 0,466.
Das ist kleiner als 0,5; eine Spezifität von 95 % genügt also nicht.
Allgemein mit q = P(+ | nicht D): P(D | +) = 0,0418 / (0,0418 + 0,956q). Die Forderung P(D | +) ≥ 0,5 führt auf: 0,0418 ≥ 0,5·(0,0418 + 0,956q) 0,0209 ≥ 0,478q q ≤ 0,0437.
Die Spezifität muss also mindestens 1 − 0,0437 ≈ 0,9563, also etwa 95,63 %, betragen. Die Argumentation des Controllers ist irreführend: Eine hohe Sensitivität allein reicht nicht, weil bei seltenen Defekten die vielen intakten Teile die positiven Testergebnisse dominieren.