Produktionsplan mit parameterabhängigem Materialverbrauch
Ein Betrieb stellt drei Varianten x, y, z eines Bauteils her. Die wöchentliche Kapazität ist durch drei Bedingungen gegeben: Die Gesamtstückzahl beträgt 12; die Maschinenlaufzeit beträgt 2x + y + 3z = 24 Stunden; der Materialverbrauch beträgt x + 2y + a·z = 18 Einheiten, wobei a vom Anteil recycelten Materials abhängt und a > 0 gilt. Die Produktionsleitung möchte wissen, wie sich der Plan in Abhängigkeit von a verhält, und ob ein Plan mit nichtnegativen Stückzahlen möglich ist. Ein Einkäufer schlägt vor, a = 0,5 zu wählen, weil dann besonders viel recyceltes Material eingesetzt würde; die Betriebsleitung bezweifelt, dass dieser Wert mit den Kapazitäten vereinbar ist. Außerdem wird geprüft, ob bei a = 1,5 alle drei Varianten in gleicher Stückzahl hergestellt werden können.
1. Löse das Gleichungssystem in Abhängigkeit von a und gib die Lösung an.
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Aus der Gesamtstückzahl folgt z = 12 − x − y. Einsetzen in die Maschinengleichung: 2x + y + 3(12 − x − y) = 24 2x + y + 36 − 3x − 3y = 24 −x − 2y = −12 x + 2y = 12.
Einsetzen in die Materialgleichung: x + 2y + a·z = 18. Da x + 2y = 12, folgt 12 + a·z = 18, also a·z = 6 und z = 6/a (für a > 0).
Aus z = 12 − x − y und x + 2y = 12 erhält man y = z = 6/a und x = 12 − 2y = 12 − 12/a.
Die Lösung lautet also: x = 12 − 12/a, y = 6/a, z = 6/a.
2. Bestimme alle a > 0, für die alle Stückzahlen nichtnegativ sind. Beurteile den Vorschlag a = 0,5.
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Für a > 0 sind y = 6/a und z = 6/a stets positiv. Kritisch ist x: 12 − 12/a ≥ 0 12 ≥ 12/a 1 ≥ 1/a.
Für a > 0 ist das äquivalent zu a ≥ 1. Alle drei Stückzahlen sind also genau dann nichtnegativ, wenn a ≥ 1 gilt.
Bei a = 0,5 wäre x = 12 − 12/0,5 = 12 − 24 = −12. Das ist keine zulässige Produktionsmenge. Der Vorschlag a = 0,5 ist daher mit den Kapazitäten nicht vereinbar, auch wenn er rechnerisch einen geringeren Materialverbrauch pro Stück suggeriert.
Für a = 1 erhält man den Randfall x = 0, y = 6, z = 6: Variante x wird nicht mehr produziert.
3. Prüfe, ob bei a = 1,5 alle drei Varianten in gleicher Stückzahl hergestellt werden können, und interpretiere den Fall a = 1.
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Für gleiche Stückzahlen gilt x = y = z. Wegen x + y + z = 12 folgt 3x = 12, also x = y = z = 4.
Kontrolle der Maschinengleichung: 2·4 + 4 + 3·4 = 8 + 4 + 12 = 24. Die Materialgleichung lautet 4 + 2·4 + a·4 = 12 + 4a. Für a = 1,5 ist das 12 + 6 = 18. Der Plan (4, 4, 4) ist also bei a = 1,5 zulässig.
Für a = 1 folgt aus der allgemeinen Lösung x = 0, y = 6, z = 6. Das ist ein Grenzfall: Das Gleichungssystem ist lösbar und nichtnegativ, aber Variante x verschwindet vollständig. Für a < 1 wäre x negativ; dann existiert kein zulässiger Produktionsplan mit nichtnegativen Stückzahlen. Die Wahl von a ist daher nicht nur eine Materialfrage, sondern entscheidet über die Produktstruktur.