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Schleswig-Holstein Abitur Math practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x². Welche Aussage über die Ableitung f′ beschreibt deren Verlauf korrekt?

  1. f′(x) = x² − 6x, und f′ hat Nullstellen bei x = 0 und x = 6.
  2. f′(x) = 3x² − 6x, und f′ hat Nullstellen bei x = 0 und x = −2.
  3. f′(x) = 3x² − 3x, und f′ hat Nullstellen bei x = 0 und x = 1.
  4. f′(x) = 3x² − 6x, und f′ hat Nullstellen bei x = 0 und x = 2. Correct answer.

Explanation

Mit der Potenzregel ist f′(x) = 3x² − 6x. Ausklammern ergibt 3x(x − 2), also liegen die Nullstellen der Ableitung bei x = 0 und x = 2; dort hat der Graph von f waagerechte Tangenten.

Question 2Analysis

Die Funktion g ist durch g(x) = e^(2x) gegeben. Welche Gleichung beschreibt die Tangente an den Graphen von g an der Stelle x = 0?

  1. y = 2x + 1 Correct answer.
  2. y = 2x − 1
  3. y = e·x + 1
  4. y = x + 1

Explanation

Es gilt g(0) = e⁰ = 1 und g′(x) = 2e^(2x), also g′(0) = 2. Die Tangentengleichung lautet damit y = 2(x − 0) + 1, also y = 2x + 1.

Question 3Analysis

Eine Funktion h hat die Ableitung h′(x) = x² − 4. An welcher Stelle x im Intervall [−3; 3] wechselt der Graph von h von fallend zu steigend?

  1. bei x = −2
  2. bei x = 4
  3. bei x = 2 Correct answer.
  4. bei x = 0

Explanation

Ein Wechsel von fallend zu steigend entspricht einem Vorzeichenwechsel von h′ von minus nach plus, also einem lokalen Minimum. Da h′(x) = (x − 2)(x + 2) ist, wechselt h′ bei x = 2 von negativ zu positiv.

Question 4Analysis

Gegeben ist f(x) = x·e^(−x) für x ≥ 0. Welchen Wert hat das bestimmte Integral ∫₀^∞ f(x) dx?

  1. e
  2. 0
  3. Das Integral divergiert.
  4. 1 Correct answer.

Explanation

Partielle Integration mit u = x, v′ = e^(−x) liefert die Stammfunktion −(x + 1)e^(−x). Der Grenzwert für x → ∞ ist 0, an der unteren Grenze ergibt sich −(−1) = 1, also ist der Integralwert 1.

Question 5Analysis

Die Funktion p mit p(x) = x⁴ − 4x² beschreibt den Graphen einer ganzrationalen Funktion. Wie viele Wendestellen besitzt der Graph von p?

  1. genau vier Wendestellen
  2. keine Wendestelle
  3. genau zwei Wendestellen Correct answer.
  4. genau eine Wendestelle

Explanation

Es ist p″(x) = 12x² − 8. Die Gleichung p″(x) = 0 hat die beiden Lösungen x = ±√(2/3), und da p″ dort das Vorzeichen wechselt (p‴(x) = 24x ≠ 0), liegen genau zwei Wendestellen vor.

Question 6Analysis

Welche der folgenden Funktionen besitzt für x → +∞ eine waagerechte Asymptote y = 3?

  1. f(x) = (x² + 3)/(x + 2)
  2. f(x) = (3x + 1)/(x² + 2)
  3. f(x) = 3x/(x + 2)
  4. f(x) = (3x² + 1)/(x² + 2) Correct answer.

Explanation

Bei gebrochen-rationalen Funktionen bestimmt das Verhältnis der höchsten Potenzen das Verhalten für x → ∞. Im Zähler und Nenner steht x², der Grenzwert ist der Quotient der Koeffizienten 3/1 = 3, also y = 3.

Question 7Analysis

Die Funktion F mit F(x) = x²·ln(x) − x²/2 ist für x > 0 definiert. Welche Funktion ist eine Stammfunktion von F?

  1. x²·ln(x) − x²
  2. x³·ln(x) − x³/2
  3. 2x·ln(x) + x − x
  4. x³/3·ln(x) − 5x³/18 Correct answer.

Explanation

Man integriert F gliedweise: ∫x²ln(x)dx ergibt mit partieller Integration (u = ln x, v′ = x²) den Term x³/3·ln(x) − x³/9, und ∫x²/2 dx = x³/6. Zusammen ist das x³/3·ln(x) − x³/9 − x³/6 = x³/3·ln(x) − 5x³/18.

Question 8Analysis

Der Graph einer Funktion f verläuft durch den Punkt P(1|4), und es gilt f′(1) = −2. Welchen Wert hat die Ableitung der Umkehrfunktion f⁻¹ an der Stelle 4?

  1. 1/2
  2. −2
  3. 2
  4. −1/2 Correct answer.

Explanation

Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt (f⁻¹)′(y₀) = 1/f′(x₀) mit y₀ = f(x₀). Mit f′(1) = −2 folgt (f⁻¹)′(4) = 1/(−2) = −1/2.

Question 9Analysis

Für eine Funktion f gilt: f ist auf ℝ definiert, f′(x) > 0 für alle x, und es gilt lim(x→−∞) f(x) = −∞ sowie lim(x→+∞) f(x) = +∞. Welche Aussage folgt daraus zwingend?

  1. f hat eine Extremstelle.
  2. f besitzt genau eine Nullstelle. Correct answer.
  3. f ist beschränkt.
  4. f besitzt mindestens zwei Nullstellen.

Explanation

Wegen f′(x) > 0 ist f streng monoton wachsend und damit injektiv; der Graph kann die x-Achse höchstens einmal schneiden. Aus den Grenzwerten −∞ und +∞ folgt mit dem Zwischenwertsatz, dass genau ein Schnittpunkt existiert.

Question 10Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = sin(2x). Welche Periode hat der Graph von f?

  1. 2π
  2. 4π
  3. π/2
  4. π Correct answer.

Explanation

Die Sinusfunktion sin(kx) hat die Periode 2π/|k|. Mit k = 2 ergibt sich 2π/2 = π, sodass sich der Graph nach der Strecke π in x-Richtung wiederholt.

Question 11Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 6x² + 9x hat die Ableitung f′(x) = 3x² − 12x + 9. Welche Art von Extremstelle liegt bei x = 1 vor?

  1. ein lokales Maximum Correct answer.
  2. eine Wendestelle ohne waagerechte Tangente
  3. ein Terrassenpunkt ohne Extremum
  4. ein lokales Minimum

Explanation

Es gilt f″(x) = 6x − 12, also f″(1) = −6 < 0. Nach dem hinreichenden Kriterium bedeutet eine negative zweite Ableitung an einer Nullstelle von f′ ein lokales Maximum.

Question 12Analysis

Welchen Wert hat der Grenzwert lim(x→0) (e^x − 1 − x)/x²?

  1. 1/2 Correct answer.
  2. 0
  3. Der Grenzwert existiert nicht.
  4. 1

Explanation

Die Taylorreihe e^x = 1 + x + x²/2 + … liefert e^x − 1 − x = x²/2 + Terme höherer Ordnung. Nach Division durch x² bleibt der Grenzwert 1/2.

Question 13Analysis

Eine Funktion f erfüllt f(0) = 2 und f′(x) = f(x) für alle x. Welche Funktionsgleichung beschreibt f?

  1. f(x) = 2e^x Correct answer.
  2. f(x) = 2e^(−x)
  3. f(x) = e^(2x)
  4. f(x) = 2 + x

Explanation

Die Differentialgleichung f′ = f hat die allgemeine Lösung f(x) = C·e^x. Die Anfangsbedingung f(0) = 2 liefert C = 2, also f(x) = 2e^x.

Question 14Analysis

Der Graph einer Funktion f schneidet die x-Achse an den Stellen x = −1, x = 2 und x = 5, wobei der Graph für x < −1 unterhalb der x-Achse verläuft. Welche Aussage über das Vorzeichen von f im Intervall (−1; 2) ist bei einfachen Nullstellen zwingend?

  1. Über das Vorzeichen lässt sich ohne weitere Angaben nichts sagen.
  2. f wechselt das Vorzeichen innerhalb von (−1; 2).
  3. f(x) < 0 für alle x in (−1; 2)
  4. f(x) > 0 für alle x in (−1; 2) Correct answer.

Explanation

Bei einfachen Nullstellen wechselt eine stetige Funktion das Vorzeichen. Da f links von −1 negativ ist, ist f zwischen −1 und 2 positiv und zwischen 2 und 5 wieder negativ.

Question 15Analysis

Die Funktion f mit f(x) = ln(x² + 1) ist auf ℝ definiert. Wie lautet die erste Ableitung?

  1. f′(x) = 1/(x² + 1)
  2. f′(x) = 2x/(x² + 1)²
  3. f′(x) = 2x·ln(x² + 1)
  4. f′(x) = 2x/(x² + 1) Correct answer.

Explanation

Mit der Kettenregel ist die Ableitung von ln(u(x)) gleich u′(x)/u(x). Hier ist u(x) = x² + 1 und u′(x) = 2x, also f′(x) = 2x/(x² + 1).

Question 16Analysis

Gegeben ist die Funktionenschar f_a mit f_a(x) = x² − a·x + 1 für a ∈ ℝ. Für welchen Wert von a berührt der Graph die x-Achse?

  1. a = 4
  2. a = 2 oder a = −2 Correct answer.
  3. a = 0
  4. Für kein a berührt der Graph die x-Achse.

Explanation

Berührung der x-Achse bedeutet eine doppelte Nullstelle, also Diskriminante null. Mit p = −a und q = 1 gilt D = a² − 4 = 0, also a = 2 oder a = −2.

Question 17Analysis

Gegeben ist f(x) = x³. Welche Aussage über das Krümmungsverhalten des Graphen im Punkt (0|0) ist korrekt?

  1. Der Graph hat bei 0 ein lokales Minimum.
  2. Der Graph ist auf ganz ℝ linksgekrümmt.
  3. Der Graph ist auf ganz ℝ rechtsgekrümmt.
  4. Der Graph ist links von 0 rechtsgekrümmt und rechts von 0 linksgekrümmt; bei 0 liegt eine Wendestelle. Correct answer.

Explanation

Es gilt f″(x) = 6x, also f″(x) < 0 für x < 0 und f″(x) > 0 für x > 0. Damit wechselt das Krümmungsverhalten bei x = 0, und dort liegt eine Wendestelle mit waagerechter Tangente (Terrassenpunkt).

Question 18Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x²·e^x besitzt eine Ableitung der Form f′(x) = e^x·g(x). Welchen Ausdruck hat g(x)?

  1. x² + 2x Correct answer.
  2. 2x
  3. x³/3
  4. x² + 2

Explanation

Mit der Produktregel ist f′(x) = 2x·e^x + x²·e^x = e^x(x² + 2x). Der Faktor g(x) lautet daher x² + 2x.

Question 19Analysis

Der Graph einer Funktion f verläuft für alle x unterhalb der Geraden y = 2 und nähert sich dieser Geraden für x → ∞ beliebig genau an, ohne sie zu erreichen. Welche Aussage beschreibt dieses Verhalten formal korrekt?

  1. f′(x) = 2 für alle x.
  2. lim(x→∞) f(x) = 2, und es gilt f(x) < 2 für alle x. Correct answer.
  3. lim(x→∞) f(x) = 2, und der Graph schneidet die Gerade y = 2 einmal.
  4. f hat bei x = 2 eine Definitionslücke.

Explanation

Eine waagerechte Asymptote y = 2 bedeutet, dass die Funktionswerte gegen 2 streben. Die zusätzliche Bedingung, dass der Graph stets unterhalb bleibt, wird durch f(x) < 2 für alle x ausgedrückt.

Question 20Analysis

Die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) = 4 − x² und der x-Achse soll berechnet werden. Welchen Wert hat diese Fläche?

  1. 4
  2. 8
  3. 32/3 Correct answer.
  4. 16/3

Explanation

Die Nullstellen liegen bei x = ±2. Das Integral ∫₋₂² (4 − x²) dx ergibt [4x − x³/3] von −2 bis 2, also (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3.

Question 21Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x − 1)/(x + 1). Welche Aussage über die Definitionslücke bei x = −1 ist korrekt?

  1. Es liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. Correct answer.
  2. Es liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.
  3. Es liegt eine hebbare Definitionslücke vor.
  4. Der Graph hat bei x = −1 eine waagerechte Tangente.

Explanation

Der Zähler ist an der Stelle x = −1 gleich −2 ≠ 0, während der Nenner null wird. Damit liegt eine Polstelle vor; da der Nenner dort das Vorzeichen wechselt, streben die Funktionswerte gegen +∞ bzw. −∞.

Question 22Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x·ln(x) ist für x > 0 definiert. An welcher Stelle hat der Graph eine waagerechte Tangente?

  1. bei x = 1/e Correct answer.
  2. bei x = 0
  3. bei x = e
  4. bei x = 1

Explanation

Mit der Produktregel ist f′(x) = ln(x) + 1. Die Gleichung ln(x) + 1 = 0 liefert ln(x) = −1 und damit x = e⁻¹ = 1/e.

Question 23Analysis

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die Ableitung f′(x) = 3(x − 1)(x + 3). Welche Aussage über die Extremstellen von f ist korrekt?

  1. Bei x = 1 liegt ein lokales Minimum, bei x = −3 ein lokales Maximum. Correct answer.
  2. Bei beiden Stellen liegen Sattelpunkte vor.
  3. f besitzt keine Extremstellen.
  4. Bei x = 1 liegt ein lokales Maximum, bei x = −3 ein lokales Minimum.

Explanation

Der Faktor (x − 1)(x + 3) ist für große positive x positiv und für kleine negative x ebenfalls positiv, dazwischen negativ. f′ wechselt bei x = −3 von plus nach minus (Maximum) und bei x = 1 von minus nach plus (Minimum).

Question 24Analysis

Die Funktion f mit f(x) = 2/(x² + 1) beschreibt eine Glockenkurve. Welchen Flächeninhalt schließt der Graph mit der x-Achse über ganz ℝ ein?

  1. 4
  2. 2π Correct answer.
  3. Der Flächeninhalt ist unendlich.
  4. π

Explanation

Das Integral ∫ 2/(x² + 1) dx hat die Stammfunktion 2·arctan(x). Mit den Grenzen ±∞ ergibt sich 2·(π/2 − (−π/2)) = 2π.

Question 25Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x hat auf dem Intervall [−2; 2] ein globales Minimum und ein globales Maximum. Welche Wertepaare treffen zu?

  1. globales Minimum −2 bei x = 1, globales Maximum 2 bei x = −1 Correct answer.
  2. globales Minimum −8 bei x = −2, globales Maximum 8 bei x = 2
  3. globales Minimum −2 bei x = −1, globales Maximum 2 bei x = 1
  4. globales Minimum −2 bei x = 2, globales Maximum 2 bei x = −2

Explanation

Die kritischen Stellen sind x = ±1 mit f(1) = −2 und f(−1) = 2. Die Randwerte f(−2) = −2 und f(2) = 2 sind betragsmäßig gleich, sodass das globale Minimum −2 (bei x = 1) und das globale Maximum 2 (bei x = −1) beträgt.

Question 26Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x² − 4)/(x − 2), definiert für x ≠ 2. Welchen Wert muss man f an der Stelle x = 2 zuweisen, damit f dort stetig fortsetzbar ist?

  1. −4
  2. 0
  3. 4 Correct answer.
  4. 2

Explanation

Für x ≠ 2 lässt sich der Zähler als (x − 2)(x + 2) faktorisieren, sodass f(x) = x + 2 gilt. Der Grenzwert für x → 2 ist daher 2 + 2 = 4. Die stetige Fortsetzung setzt genau diesen Grenzwert als Funktionswert.

Question 27Analysis

Die Funktion f hat die Ableitung f′(x) = x² + 1. Welche Aussage über den Graphen von f ist für alle x ∈ ℝ zutreffend?

  1. Der Graph ist streng monoton fallend.
  2. Der Graph ist streng monoton wachsend. Correct answer.
  3. Der Graph besitzt eine waagerechte Tangente bei x = 0.
  4. Der Graph hat bei x = 0 ein lokales Minimum.

Explanation

Es gilt f′(x) = x² + 1 ≥ 1 > 0 für alle reellen x, die Ableitung ist also überall positiv. Eine durchgehend positive Ableitung bedeutet strenge Monotonie steigend auf ganz ℝ.

Question 28Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 3·cos(x). Wie lautet eine Stammfunktion F von f?

  1. F(x) = 3·cos(x) + x
  2. F(x) = −3·cos(x)
  3. F(x) = 3·sin(x)
  4. F(x) = −3·sin(x) Correct answer.

Explanation

Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), daher ist −3·sin(x) eine Stammfunktion von 3·cos(x). Beim Integrieren des Kosinus entsteht ein Minuszeichen.

Question 29Analysis

Eine ganzrationale Funktion f dritten Grades hat genau die Nullstellen x = −2, x = 1 und x = 3. Welche Gestalt muss ihr Funktionsterm haben?

  1. f(x) = (x + 2)·(x − 1)·(x − 3) + a mit a ≠ 0
  2. f(x) = a·(x − 2)·(x + 1)·(x + 3) mit a ≠ 0
  3. f(x) = a·(x + 2)·(x − 1)·(x − 3) mit a ≠ 0 Correct answer.
  4. f(x) = a·(x + 2)²·(x − 3) mit a ≠ 0

Explanation

Jede Nullstelle x₀ liefert einen Linearfaktor (x − x₀). Bei drei einfachen Nullstellen und Grad 3 ist der Term bis auf einen konstanten Faktor a ≠ 0 festgelegt.

Question 30Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = e^(2x). Wie lautet f′(x)?

  1. f′(x) = e^(2x)/2
  2. f′(x) = 2x·e^(2x)
  3. f′(x) = e^(2x)
  4. f′(x) = 2·e^(2x) Correct answer.

Explanation

Nach der Kettenregel wird die äußere Ableitung e^(2x) mit der inneren Ableitung 2 multipliziert. Damit ergibt sich f′(x) = 2·e^(2x).

Question 31Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x⁴ − 4x² hat die Ableitung f′(x) = 4x³ − 8x. An welchen Stellen besitzt der Graph waagerechte Tangenten?

  1. x = 2 und x = −2
  2. x = √2 und x = −√2
  3. nur x = 0
  4. x = 0, x = √2 und x = −√2 Correct answer.

Explanation

Man klammert 4x aus: f′(x) = 4x(x² − 2). Nullsetzen liefert x = 0 sowie x² = 2, also x = ±√2. Alle drei Stellen sind Nullstellen der Ableitung.

Question 32Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1/x² für x > 0. Wie verhält sich f(x) für x → 0⁺?

  1. f(x) strebt gegen 0.
  2. f(x) strebt gegen 1.
  3. f(x) strebt gegen +∞. Correct answer.
  4. f(x) strebt gegen −∞.

Explanation

Für immer kleinere positive x wird x² sehr klein und positiv, der Kehrwert daher beliebig groß. Der Grenzwert ist also +∞, der Graph besitzt bei x = 0 eine Polstelle.

Question 33Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x² − 6x + 11 soll auf dem abgeschlossenen Intervall [0; 5] untersucht werden. An welcher Stelle liegt das globale Minimum auf diesem Intervall?

  1. x = 0
  2. x = 6
  3. x = 3 Correct answer.
  4. x = 5

Explanation

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei x = 3, denn f′(x) = 2x − 6 wird dort null. Da 3 im Intervall [0; 5] liegt, ist dies die Stelle des globalen Minimums mit f(3) = 2.

Question 34Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x·e^(−x). Wie lautet f′(x)?

  1. f′(x) = e^(−x)·(x − 1)
  2. f′(x) = e^(−x)·(1 − x) Correct answer.
  3. f′(x) = e^(−x)·(1 + x)
  4. f′(x) = −e^(−x)

Explanation

Mit der Produktregel erhält man f′(x) = 1·e^(−x) + x·(−e^(−x)). Ausklammern von e^(−x) ergibt e^(−x)·(1 − x).

Question 35Analysis

Die Funktion F mit F(x) = x²·e^x ist eine Stammfunktion welcher Funktion f?

  1. f(x) = e^x·(x² − 2x)
  2. f(x) = e^x·(x² + 2x) Correct answer.
  3. f(x) = 2x·e^x
  4. f(x) = e^x·(x² + 2)

Explanation

Die Produktregel liefert F′(x) = 2x·e^x + x²·e^x. Ausklammern von e^x ergibt e^x·(x² + 2x), also den gesuchten Integranden.

Question 36Analysis

Der Graph einer Funktion f besitzt an der Stelle x = 2 eine Wendestelle. Welche Bedingung muss dafür unter den üblichen Voraussetzungen erfüllt sein?

  1. f‴(2) = 0 und f″(2) ≠ 0
  2. f″(2) = 0 und f′(2) = 0
  3. f′(2) = 0 und f″(2) ≠ 0
  4. f″(2) = 0 und f‴(2) ≠ 0 Correct answer.

Explanation

Eine hinreichende Bedingung für eine Wendestelle ist das Verschwinden der zweiten Ableitung bei gleichzeitig nicht verschwindender dritter Ableitung. Dann wechselt das Krümmungsverhalten an dieser Stelle.

Question 37Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x² + 4 hat die Ableitung f′(x) = 3x² − 6x. Welche Aussage über die Extremstellen ist korrekt?

  1. Bei x = 0 liegt ein lokales Maximum, bei x = 2 ein lokales Minimum. Correct answer.
  2. Es liegt nur bei x = 2 eine Extremstelle vor.
  3. Bei x = 0 liegt ein lokales Minimum, bei x = 2 ein lokales Maximum.
  4. Bei x = 0 und x = 2 liegen Sattelpunkte vor.

Explanation

Die Nullstellen der Ableitung sind x = 0 und x = 2. Die zweite Ableitung f″(x) = 6x − 6 ist bei x = 0 negativ (Maximum) und bei x = 2 positiv (Minimum).

Question 38Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ln(3x) für x > 0. Wie lautet f′(x)?

  1. f′(x) = ln(3)
  2. f′(x) = 1/(3x)
  3. f′(x) = 3/x
  4. f′(x) = 1/x Correct answer.

Explanation

Mit der Kettenregel ergibt sich f′(x) = 1/(3x) · 3 = 1/x. Der konstante Faktor 3 kürzt sich heraus, was der Umformung ln(3x) = ln(3) + ln(x) entspricht.

Question 39Analysis

Die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) = x² und der Geraden y = 4 im Bereich −2 ≤ x ≤ 2 soll berechnet werden. Welchen Inhalt hat diese Fläche?

  1. 16/3
  2. 8
  3. 8/3
  4. 32/3 Correct answer.

Explanation

Die Gerade liegt im Intervall oberhalb der Parabel. Der Inhalt ist das Integral von 4 − x² über [−2; 2], also [4x − x³/3] von −2 bis 2, was 32/3 ergibt.

Question 40Analysis

Die Funktion f mit f(x) = (x² + 1)/x ist für x ≠ 0 definiert. Welche Aussage beschreibt das Verhalten für x → +∞ korrekt?

  1. Der Graph nähert sich der x-Achse an.
  2. Der Graph besitzt bei x = 0 eine hebbare Lücke.
  3. Der Graph nähert sich der Geraden y = x an. Correct answer.
  4. Der Graph besitzt die waagerechte Asymptote y = 1.

Explanation

Durch Polynomdivision erhält man f(x) = x + 1/x. Für x → +∞ geht 1/x gegen null, sodass der Abstand zur Geraden y = x verschwindet; diese ist eine schiefe Asymptote.

Question 41Analysis

Eine Funktion f ist auf ℝ definiert und zweimal differenzierbar. Es gilt f(1) = 0, f(3) = 0 und f ist auf [1; 3] stetig sowie auf (1; 3) differenzierbar. Welche Aussage folgt aus dem Satz von Rolle?

  1. Es gilt f′(1) = f′(3) = 0.
  2. Es gibt ein c in (1; 3) mit f″(c) = 0.
  3. Es gibt ein c in (1; 3) mit f′(c) = 0. Correct answer.
  4. Es gibt ein c in (1; 3) mit f(c) = 0.

Explanation

Der Satz von Rolle garantiert bei gleichen Funktionswerten an den Intervallenden eine Stelle im Inneren mit waagerechter Tangente. Also existiert ein c mit f′(c) = 0.

Question 42Analysis

Das Integral von f(x) = 6x² über dem Intervall [0; b] hat den Wert 16. Welchen Wert hat b?

  1. b = 4
  2. b = ∛8
  3. b = 8/3
  4. b = 2 Correct answer.

Explanation

Eine Stammfunktion ist 2x³, das bestimmte Integral ergibt 2b³. Aus 2b³ = 16 folgt b³ = 8 und damit b = 2.

Question 43Analysis

Gegeben ist die Funktionenschar f_a mit f_a(x) = x³ − a·x für a > 0. Welchen Abstand haben die beiden von null verschiedenen Extremstellen voneinander?

  1. 2·√(3a)
  2. a/3
  3. √(a/3)
  4. 2·√(a/3) Correct answer.

Explanation

Aus f_a′(x) = 3x² − a = 0 folgt x = ±√(a/3). Der Abstand zwischen diesen beiden Stellen ist die Differenz, also 2·√(a/3).

Question 44Analysis

Die Funktion f mit f(x) = sin(x)·cos(x) soll abgeleitet werden. Welche Ableitung ist korrekt?

  1. f′(x) = 1
  2. f′(x) = cos(2x) Correct answer.
  3. f′(x) = 2·sin(x)·cos(x)
  4. f′(x) = −sin(2x)

Explanation

Mit der Produktregel erhält man cos²(x) − sin²(x), was nach dem Additionstheorem gleich cos(2x) ist. Alternativ liefert die Umformung sin(x)·cos(x) = ½·sin(2x) dieselbe Ableitung.

Question 45Analysis

Der Graph einer Funktion f hat an der Stelle x = 1 die Steigung 3, und es gilt f(1) = 2. Die Tangente in diesem Punkt wird betrachtet. An welcher Stelle schneidet diese Tangente die x-Achse?

  1. x = 5/3
  2. x = −1/3
  3. x = 2/3
  4. x = 1/3 Correct answer.

Explanation

Die Tangentengleichung lautet t(x) = 3·(x − 1) + 2. Nullsetzen ergibt 3x − 3 + 2 = 0, also 3x = 1 und x = 1/3.

Question 46Analysis

Eine ganzrationale Funktion f dritten Grades hat die Ableitung f′(x) = 3(x − 1)². Welche Aussage über den Graphen von f ist zutreffend?

  1. Bei x = 1 liegt ein lokales Minimum vor.
  2. Bei x = 1 liegt ein Sattelpunkt vor. Correct answer.
  3. Bei x = 1 liegt eine Wendestelle ohne waagerechte Tangente vor.
  4. Bei x = 1 liegt ein lokales Maximum vor.

Explanation

Die Ableitung ist bei x = 1 null, wechselt dort aber das Vorzeichen nicht, denn der quadratische Faktor ist stets nichtnegativ. Daher liegt eine waagerechte Tangente ohne Extremum vor, also ein Sattelpunkt.

Question 47Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2·sin(π·x/3). Welche Nullstellen besitzt der Graph im Intervall [0; 6]?

  1. x = 0 und x = 3
  2. nur x = 0 und x = 6
  3. x = 0, x = 3 und x = 6 Correct answer.
  4. x = 0, x = 1,5 und x = 4,5

Explanation

Die Nullstellen des Sinus liegen bei Vielfachen von π. Aus π·x/3 = k·π folgt x = 3k, im Intervall [0; 6] also x = 0, 3 und 6.

Question 48Analysis

Die Funktion f mit f(x) = e^(−x²) beschreibt eine Glockenkurve. Welche Aussage über ihre Ableitung ist korrekt?

  1. f′(x) = −2x·e^(−x²), und f hat bei x = 0 ein Maximum. Correct answer.
  2. f′(x) = e^(−x²), und f ist konstant.
  3. f′(x) = −2x·e^(−x²), und f hat bei x = 0 einen Sattelpunkt.
  4. f′(x) = −2x·e^(−x²), und f hat bei x = 0 ein Minimum.

Explanation

Die Kettenregel liefert f′(x) = −2x·e^(−x²). Für x < 0 ist die Ableitung positiv, für x > 0 negativ, sodass bei x = 0 ein Maximum mit f(0) = 1 vorliegt.

Question 49Analysis

Der Graph von f(x) = x³ − 3x² + 2x schneidet die x-Achse an drei Stellen. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen liegt jeweils eine Extremstelle. Welchen Abstand haben die beiden Extremstellen voneinander?

  1. 4/√3
  2. 1/√3
  3. 2/3
  4. 2/√3 Correct answer.

Explanation

Die Ableitung ist f′(x) = 3x² − 6x + 2 = 0, also x = 1 ± 1/√3. Die Differenz der beiden Extremstellen beträgt 2/√3.

Question 50Analysis

Für eine Funktion f gilt f(0) = 1 und f′(x) = 2x·f(x) für alle x. Welche Funktionsgleichung beschreibt f?

  1. f(x) = e^(2x)
  2. f(x) = 1 + x²
  3. f(x) = e^(x²) Correct answer.
  4. f(x) = e^(x²) + 1

Explanation

Die Differenzialgleichung f′ = 2x·f wird durch Trennung der Variablen gelöst; die Stammfunktion von 2x ist x². Mit der Anfangsbedingung f(0) = e⁰ = 1 ergibt sich f(x) = e^(x²).