Analysis: Ableiten, Integrieren und Modellieren
Die Analysis ist in Schleswig-Holstein in beiden Prüfungsteilen vertreten: im hilfsmittelfreien Teil, in dem Standardwerte wie e^0, ln 1 oder sin(30°) ohne Taschenrechner abrufbar sein müssen, und im Teil mit wissenschaftlichem Taschenrechner und Formelsammlung. Geprüft werden Kurvendiskussionen, Funktionsscharen, Flächen- und Rotationsvolumina, uneigentliche Integrale sowie Modellierungen, in denen ein Sachverhalt in eine Funktion übersetzt und das Ergebnis im Kontext gedeutet wird.
Ableiten und Untersuchen
- Produktregel (u·v)' = u'v + uv', Kettenregel (e^u)' = u'·e^u, (ln u)' = u'/u.
- Extremstellen: f'(x) = 0 ist notwendig; hinreichend ist ein Vorzeichenwechsel von f' oder f''(x) ≠ 0 (f'' > 0 ergibt ein Minimum).
- Wendestellen: f''(x) = 0 und f'''≠0; der Wendepunkt braucht zusätzlich den Funktionswert.
- Bei Scharen wird der Parameter wie eine Konstante behandelt; Fallunterscheidungen (a = 0, a < 0) gehören zur Lösung.
Integrieren
- Hauptsatz: ∫f(x)dx von a bis b = F(b) − F(a); ∫e^(kx)dx = (1/k)e^(kx).
- Fläche zwischen Graph und x-Achse abschnittsweise mit Beträgen, Fläche zwischen zwei Graphen über ∫(f − g) mit den Schnittstellen als Grenzen.
- Rotationsvolumen um die x-Achse: V = π·∫f(x)²dx.
- Uneigentliche Integrale über den Grenzwert lim(b→∞) F(b).
Durchgerechnetes Beispiel
f(x) = x·e^(−2x). Mit Produkt- und Kettenregel: f'(x) = e^(−2x) − 2x·e^(−2x) = e^(−2x)(1 − 2x), also f'(x) = 0 für x = 0,5. Wegen f''(x) = e^(−2x)(4x − 4) ist f''(0,5) = −2e^(−1) < 0, es liegt ein Maximum mit f(0,5) = 0,5e^(−1) ≈ 0,18 vor. Stammfunktion F(x) = e^(−2x)(−x/2 − 1/4); die Probe F'(x) = x·e^(−2x) bestätigt sie. Fläche über [0;2]: F(2) − F(0) = −1,25e^(−4) + 0,25 ≈ 0,227.
Typische Punktverluste
f''(x) = 0 allein ist keine Wendestelle; bei begrenztem Definitionsbereich fehlen die Randextrema; Flächen unterhalb der x-Achse werden ohne Betrag falsch; Ergebnisse ohne Antwortsatz und Einheit kosten Punkte; der Sonderfall eines Parameters wird vergessen.