Lineare Algebra / Analytische Geometrie: Vektoren, Ebenen, Matrizen
Lineare Algebra und Analytische Geometrie prüfen den sicheren Umgang mit Vektoren im dreidimensionalen Raum: Geraden und Ebenen in verschiedenen Formen, Lagebeziehungen, Abstände, Schnittwinkel und Orthogonalität. Dazu kommt der Matrizenteil mit Übergangsprozessen, Fixvektoren und der Deutung von Matrixpotenzen. Im hilfsmittelfreien Teil sind vor allem Skalarprodukt, einfache Gleichungssysteme und das Aufstellen von Normalenvektoren gefragt.
Geraden und Ebenen
- Gerade g: x = a + t·u; Ebene in Parameterform x = a + r·u + s·v.
- Normalenform n·(x − a) = 0; Koordinatenform n1x1 + n2x2 + n3x3 = d mit d = n·a.
- Normalenvektor über das Kreuzprodukt n = u × v, Länge |n| = √(n1² + n2² + n3²).
- Lagebeziehungen: Gerade und Gerade gleichsetzen und das LGS lösen – eine Lösung ergibt den Schnittpunkt, keine Lösung bei linear unabhängigen Richtungen bedeutet windschief. Gerade und Ebene: Geradenterm in die Koordinatenform einsetzen und t bestimmen.
Abstand und Winkel
- Abstand Punkt–Ebene über die Hessesche Normalenform: d(P,E) = |n·p − d| / |n|.
- Lotfußpunkt: L = P − ((n·p − d)/|n|²)·n.
- Winkel Gerade–Ebene: sin α = |u·n|/(|u|·|n|); Winkel Ebene–Ebene: cos α = |n1·n2|/(|n1|·|n2|).
Übergangsprozesse
- Spaltenvektor-Konvention: v_(n+1) = M·v_n; bei stochastischen Matrizen ist jede Spaltensumme 1.
- Fixvektor über M·v = v, also (M − E)·v = 0; jede Vielfache löst das System, erst die Normierung ergibt die stationäre Verteilung.
- Matrixpotenzen beschreiben die Entwicklung nach n Schritten.
Durchgerechnetes Beispiel
Ebene E: 2x1 + x2 − 2x3 = 4, Punkt P(1|1|1). Normalenvektor n = (2;1;−2), |n| = √9 = 3. Einsetzen: 2·1 + 1 − 2·1 − 4 = −3, also d(P,E) = |−3|/3 = 1. Lotfußpunkt: L = P − (−3/9)·n = (1;1;1) + (2/3;1/3;−2/3) = (5/3;4/3;1/3), Probe in E: 10/3 + 4/3 − 2/3 = 4. Für die Gerade g: x = (1;1;1) + t·(1;0;0) gilt sin α = |(1;0;0)·(2;1;−2)|/(1·3) = 2/3, also α ≈ 41,8°.
Typische Punktverluste
Der Betrag beim Abstand fehlt, sodass ein negativer Wert als Abstand angegeben wird; cos und sin werden beim Winkel vertauscht; das Vorzeichen von d in der Koordinatenform ist falsch; Parameterformen werden über Koeffizientenvergleich statt über Gleichsetzen verglichen, obwohl sie nicht eindeutig sind; ein unnormierter Fixvektor wird als Wahrscheinlichkeitsverteilung gedeutet.