Stochastik: Baumdiagramm, Binomialverteilung, Hypothesentest
Die Stochastik im Abitur Schleswig-Holstein verbindet elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung mit der Binomialverteilung und dem Testen von Hypothesen. Erwartet wird, dass ein Zufallsexperiment strukturiert beschrieben wird (Baumdiagramm, Vierfeldertafel), Wahrscheinlichkeiten auch bedingt berechnet und gedeutet werden und ein Testverfahren mit Fehlerbetrachtung vollständig aufgebaut wird.
Pfadregeln und bedingte Wahrscheinlichkeit
- Entlang eines Pfades multiplizieren, über mehrere Pfade addieren.
- Bedingte Wahrscheinlichkeit: P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A); Auflösen nach der Schnittwahrscheinlichkeit liefert den Multiplikationssatz.
- Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
- Vierfeldertafel: Randwahrscheinlichkeiten eintragen, fehlende Zellen über die Summen ergänzen; „umgekehrte“ bedingte Wahrscheinlichkeiten entstehen durch Vertauschen von Zähler und Nenner.
Binomialverteilung
- B(n;p;k) = C(n;k)·p^k·(1−p)^(n−k), kumuliert P(X ≤ k) über Taschenrechner oder Tabelle.
- μ = n·p, σ = √(n·p·(1−p)).
- Sigma-Regeln als Näherung: [μ − 1,64σ; μ + 1,64σ] ≈ 90 %, [μ − 1,96σ; μ + 1,96σ] ≈ 95 %, [μ − 2,58σ; μ + 2,58σ] ≈ 99 %.
- „Mindestens ein Treffer“ immer über das Gegenereignis.
Hypothesentest
- H0: p = p0 gegen eine ein- oder zweiseitige Alternative; Niveau α.
- Verwerfungsbereich so wählen, dass P(X im Verwerfungsbereich | p0) ≤ α gilt.
- Fehler 1. Art: H0 wird verworfen, obwohl sie wahr ist (Wahrscheinlichkeit höchstens α). Fehler 2. Art: H0 wird beibehalten, obwohl sie falsch ist – seine Wahrscheinlichkeit hängt vom tatsächlichen p ab.
Durchgerechnetes Beispiel
Getestet wird bei n = 200 und p0 = 0,5 einseitig die Alternative p > 0,5 auf dem 5-%-Niveau. Mit μ = 100 und σ = √50 ≈ 7,07 liefert die 1,64σ-Grenze 100 + 1,64·7,07 ≈ 111,6, also den Verwerfungsbereich {112; …; 200}. Die exakte kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 112) beträgt bei B(200;0,5) rund 5,2 % und überschreitet das Niveau damit knapp; wer α exakt einhalten will, wählt {113; …; 200} mit knapp 4 %. Die Näherung über die Sigma-Regel muss als solche gekennzeichnet werden.
Typische Punktverluste
P(A ∩ B) und P_A(B) werden verwechselt; „mindestens“ wird ohne Gegenereignis gerechnet; ohne Zurücklegen wird fälschlich binomial statt hypergeometrisch modelliert; P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) wird mit falschem Index gebildet; der Fehler 2. Art wird als feste Größe behandelt; die Testrichtung passt nicht zur Formulierung der Alternative.