Glücksrad auf dem Schulfest: Gewinn oder nicht?
Die Klasse 9a betreibt auf dem Schulfest ein Glücksrad. Das Rad hat 8 gleich große Felder: 1 Feld mit Hauptgewinn, 2 Felder mit Trostpreis, 5 Felder ohne Gewinn. Ein Spiel kostet 1,00 €. Der Hauptgewinn kostet die Klasse 3,00 €, ein Trostpreis 0,50 €. Die Klasse erwartet etwa 400 Spiele. Ein Mitschüler sagt: „Bei 400 Spielen nehmen wir 400 € ein; die Preise kosten höchstens 3 € pro Spiel, also bleibt sicher Gewinn.“ Prüfe diese Aussage mit einer Rechnung. Entscheide außerdem, wie viele Hauptgewinnfelder das Rad höchstens haben darf, wenn die Klasse bei 400 Spielen mindestens 150 € Gewinn machen will und die Anzahl der Trostpreisfelder gleich bleibt.
1. Berechne den durchschnittlichen Preiswert pro Spiel und den erwarteten Gewinn bei 400 Spielen. Prüfe die Aussage des Mitschülers.
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Für 8 Spiele (einmal jedes Feld):
- 1 Hauptgewinn: 3,00 €
- 2 Trostpreise: 2 · 0,50 € = 1,00 €
- 5 Nieten: 0 € Summe der Preise: 4,00 € pro 8 Spiele. Durchschnitt pro Spiel: 4,00 : 8 = 0,50 €. Einnahmen bei 400 Spielen: 400 · 1,00 € = 400 €. Erwartete Preiskosten: 400 · 0,50 € = 200 €. Erwarteter Gewinn: 400 − 200 = 200 €. Die Aussage „die Preise kosten höchstens 3 € pro Spiel“ ist irreführend: Im Durchschnitt kostet ein Spiel nur 0,50 € an Preisen, nicht 3 €. Ein Gewinn ist wahrscheinlich, aber nicht „sicher“, weil das Ergebnis vom Zufall abhängt.
2. Bestimme rechnerisch die höchste Anzahl an Hauptgewinnfeldern, wenn die Klasse bei 400 Spielen mindestens 150 € Gewinn machen will und weiterhin 2 Trostpreisfelder vorhanden sind. Begründe dein Ergebnis.
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Sei k die Anzahl der Hauptgewinnfelder. Bei 8 Feldern: Erwarteter Preiswert pro Spiel = (k/8) · 3 + (2/8) · 0,5 = 0,375k + 0,125. Gewinn pro Spiel = 1 − (0,375k + 0,125) = 0,875 − 0,375k. Bei 400 Spielen: Gewinn = 400 · (0,875 − 0,375k) = 350 − 150k. Bedingung: 350 − 150k ≥ 150 200 ≥ 150k k ≤ 1,333... Da k eine ganze Zahl sein muss, ist k = 1 die höchste zulässige Anzahl. Mit 2 Hauptgewinnfeldern wäre der erwartete Gewinn nur 350 − 300 = 50 €, also zu wenig.
3. Ein Hauptgewinnfeld wird durch ein Trostpreisfeld ersetzt. Entscheide, ob der erwartete Gewinn pro Spiel steigt oder sinkt, und berechne die Veränderung.
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Neu: 0 Hauptgewinnfelder, 3 Trostpreisfelder. Erwarteter Preiswert pro Spiel = (3/8) · 0,5 = 0,1875 €. Gewinn pro Spiel = 1 − 0,1875 = 0,8125 €. Vorher (1 Hauptgewinn, 2 Trostpreise): 1 − 0,50 = 0,50 €. Veränderung: 0,8125 − 0,50 = 0,3125 € pro Spiel, also +0,3125 €. Bei 400 Spielen sind das 125 € mehr erwarteter Gewinn. Der Gewinn steigt, weil der Hauptgewinn im Durchschnitt teurer ist als der Trostpreis, obwohl er seltener ausgezahlt wird.