Schleswig-Holstein ESA Mathematics cheat sheet

Prozentrechnung: Grundwert G, Prozentwert W, Prozentsatz p hängen über W = p/100 · G zusammen; gesucht ist stets die Größe, die nicht mit „von“ oder „entspricht“ verbunden ist.

Zinsrechnung: Jahreszins Z = K · p/100; Monatszins = Z/12, Tageszins = Z/360 (kaufmännisch) oder Z/365 (kalendarisch) – die Aufgabenangabe entscheidet.

Zinseszins: Endkapital K_n = K_0 · (1 + p/100)^n; bei unterjähriger Verzinsung wird der Jahreszinssatz durch die Anzahl der Perioden geteilt und der Exponent entsprechend größer.

Proportionale Zuordnung: y = k · x, Quotient y/x ist konstant, Graph ist eine Gerade durch den Ursprung. Umgekehrt proportional: y = k/x, Produkt x · y ist konstant, Graph ist eine Hyperbel.

Dreisatz: erst auf 1 Einheit (Divisionsschritt), dann auf die gesuchte Anzahl (Multiplikationsschritt) schließen; bei antiproportionaler Zuordnung wird im zweiten Schritt dividiert statt multipliziert.

Lineare Funktion: y = m·x + b, dabei ist m = (y_2 − y_1)/(x_2 − x_1) die Steigung und b der y-Achsenabschnitt; m > 0 steigend, m < 0 fallend, m = 0 waagerecht.

Quadratische Funktion: y = a·x² + b·x + c; Scheitelpunkt über x_S = −b/(2a), Nullstellen über die pq-Formel nach Division durch a oder über die Diskriminante D = b² − 4ac.

Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck: a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel) ist; Umkehrung prüft Rechtwinkligkeit.

Flächen und Volumen: Dreieck A = ½·g·h, Trapez A = ½·(a + c)·h, Kreis A = π·r² und U = 2·π·r; Prisma/Zylinder V = G·h, Pyramide/Kegel V = ⅓·G·h, Kugel V = 4/3·π·r³.

Lageparameter einer Datenreihe: arithmetisches Mittel = Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl; Median ist der mittlere Wert der sortierten Reihe (bei gerader Anzahl das Mittel der beiden mittleren Werte); Modus ist der häufigste Wert.

Spannweite = größter Wert − kleinster Wert; die Spannweite reagiert stark auf Ausreißer, der Median kaum – deshalb bei schiefen Verteilungen den Median bevorzugen.

Wahrscheinlichkeit nach Laplace: P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl aller gleich möglichen Ergebnisse; es gilt stets 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Gegenereignis: P(nicht E) = 1 − P(E); „mindestens einmal“ wird meist über das Gegenereignis „kein Mal“ berechnet.

Zweistufige Zufallsexperimente: Pfadregel – Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert, Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade für dasselbe Ereignis addiert.

Termumformung: Klammern mit dem Distributivgesetz auflösen (a·(b + c) = ab + ac), gleichartige Terme zusammenfassen; binomische Formeln (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², (a + b)(a − b) = a² − b².

Gleichungen lösen: auf beiden Seiten dieselbe Operation anwenden (Äquivalenzumformung), Ziel ist das Freistellen der Variablen; Probe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung.

Einheiten und Rundung: Längen 1 km = 1000 m, 1 m = 100 cm; Flächen 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm²; Volumen 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 l; Ergebnis erst am Ende runden, Einheit stets angeben.

Maßstab: Abbildungslänge : Originallänge, z. B. 1 : 25 000 bedeutet 1 cm auf der Karte entspricht 25 000 cm = 250 m in der Wirklichkeit.