Schleswig-Holstein ESA Mathematics flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Prozentwert

Der Prozentwert W ist der Anteil vom Grundwert: W = (p/100) · G. Beispiel: 15 % von 240 € sind 0,15 · 240 = 36 €.

Grundwert berechnen

Ist der Prozentwert und der Prozentsatz bekannt, gilt G = W · 100 / p. Beispiel: 36 € sind 15 %, also G = 36 · 100 / 15 = 240 €.

Prozentsatz berechnen

Der Prozentsatz ergibt sich aus p = W · 100 / G. Beispiel: 36 von 240 ergibt p = 36 · 100 / 240 = 15 %.

Zinsformel Jahreszins

Der Jahreszins beträgt Z = K · p / 100, wobei K das Kapital und p der Zinssatz in Prozent ist. Beispiel: 800 € zu 3 % ergeben 24 € Zinsen im Jahr.

Zinseszinsformel

Das Endkapital nach n Jahren ist K_n = K_0 · (1 + p/100)^n. Die Zinsen des Vorjahres werden mitverzinst, deshalb wächst das Kapital exponentiell.

Proportionale Zuordnung

Bei proportionaler Zuordnung gilt y = k · x mit konstantem Quotienten y/x. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung, Verdopplung von x verdoppelt auch y.

Antiproportionale Zuordnung

Hier gilt y = k / x, das Produkt x · y bleibt konstant. Der Graph ist eine Hyperbel; verdoppelt sich x, halbiert sich y.

Dreisatz proportional

Erst wird durch die bekannte Anzahl dividiert, um den Wert für eine Einheit zu erhalten, dann mit der gesuchten Anzahl multipliziert. Beispiel: 4 Hefte kosten 6 €, also 9 Hefte 13,50 €.

Steigung einer Geraden

Die Steigung ist m = (y_2 − y_1) / (x_2 − x_1), also der Höhenunterschied geteilt durch den Horizontalunterschied zwischen zwei Punkten der Geraden.

y-Achsenabschnitt

In y = m·x + b gibt b an, wo die Gerade die y-Achse schneidet, nämlich im Punkt (0 | b). Bei b = 0 verläuft die Gerade durch den Ursprung.

Nullstellen quadratischer Funktionen

Lösungen von a·x² + b·x + c = 0 erhält man nach Division durch a mit der pq-Formel x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, gibt es keine reelle Lösung.

Scheitelpunkt einer Parabel

Der Scheitelpunkt liegt bei x_S = −b/(2a) für y = a·x² + b·x + c. Der zugehörige y-Wert entsteht durch Einsetzen dieses x-Wertes in die Funktionsgleichung.

Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel ist. Beispiel: 3² + 4² = 5², also 9 + 16 = 25.

Umkehrung des Pythagoras

Gilt in einem Dreieck a² + b² = c² für die längste Seite c, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Gilt die Gleichung nicht, ist der Winkel gegenüber c nicht 90 Grad.

Flächeninhalt Dreieck

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist A = ½ · g · h, also halbe Grundseite mal zugehörige Höhe. Die Höhe steht stets senkrecht auf der gewählten Grundseite.

Kreisfläche und Umfang

Für einen Kreis mit Radius r gilt A = π · r² und U = 2 · π · r. Mit dem Durchmesser d = 2r schreibt man auch U = π · d.

Volumen von Prisma und Zylinder

Prisma und Zylinder haben das Volumen V = G · h, also Grundfläche mal Körperhöhe. Ein Zylinder mit Radius r hat die Grundfläche G = π · r².

Volumen von Kegel und Pyramide

Kegel und Pyramide haben ein Drittel des Volumens des umschließenden Prismas bzw. Zylinders: V = ⅓ · G · h. Bei gleicher Grundfläche und Höhe gilt dieser feste Faktor.

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Es nutzt alle Daten, reagiert aber empfindlich auf einzelne Ausreißer.

Median

Der Median ist der mittlere Wert der der Größe nach sortierten Datenreihe. Bei gerader Anzahl wird das Mittel der beiden mittleren Werte gebildet; Ausreißer beeinflussen ihn kaum.

Spannweite

Die Spannweite ist die Differenz aus größtem und kleinstem Wert einer Datenreihe. Sie beschreibt die Streuung, sagt aber nichts über die Verteilung dazwischen aus.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl möglicher Ergebnisse. Beim Würfel ist P(gerade Zahl) = 3/6 = 0,5.

Gegenereignis

Das Gegenereignis tritt genau dann ein, wenn E nicht eintritt, und es gilt P(nicht E) = 1 − P(E). Beispiel: P(mindestens eine Sechs) = 1 − P(keine Sechs).

Pfadregel

Im Baumdiagramm werden Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit mehreren Pfaden ist die Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten.

Binomische Formeln

Es gelten (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² und (a + b)(a − b) = a² − b². Sie beschleunigen das Ausmultiplizieren und das Faktorisieren von Termen.

Distributivgesetz

Ausmultiplizieren: a · (b + c) = ab + ac. Ausklammern ist die Umkehrung: ab + ac = a · (b + c). So lassen sich Terme vereinfachen und Gleichungen lösen.

Äquivalenzumformung

Bei einer Gleichung darf auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert, subtrahiert, multipliziert oder (außer 0) dividiert werden, ohne die Lösungsmenge zu ändern. Ziel ist das Freistellen der Variablen.

Lineares Gleichungssystem

Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen werden durch Gleichsetzen, Einsetzen oder Additionsverfahren gelöst. Das Ergebnis ist der Schnittpunkt der beiden zugehörigen Geraden.

Maßstab

Der Maßstab 1 : n bedeutet, dass 1 Längeneinheit auf der Zeichnung n gleichen Einheiten in der Wirklichkeit entspricht. Bei 1 : 25 000 sind 1 cm auf der Karte 250 m real.

Flächeneinheiten umrechnen

Flächeneinheiten werden mit dem Quadrat des Längenfaktors umgerechnet: 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm². Bei Volumen gilt der Faktor hoch drei: 1 m³ = 1000 dm³.

Runden von Ergebnissen

Gerundet wird erst am Ende der Rechnung, nicht bei Zwischenschritten. Bei der Ziffer 5 oder größer wird aufgerundet, sonst abgerundet; das Ergebnis erhält immer eine Einheit.

Satz des Thales

Liegt der Punkt C auf dem Halbkreis über der Strecke AB, dann ist der Winkel bei C ein rechter Winkel. Der Mittelpunkt des Halbkreises ist der Mittelpunkt von AB.