Mobilfunktarife: Grenzpreis mit Durchschnittspreis verwechselt
Familie Hansen vergleicht zwei Mobilfunktarife. Tarif Fix kostet 12,90 € Grundgebühr im Monat und enthält 3 GB Datenvolumen; jedes darüber hinaus angefangene 100-MB-Paket kostet 1,50 €. Tarif Flex kostet 4,90 € Grundgebühr und berechnet 0,90 € pro angefangenem 100-MB-Paket, ohne Inklusivvolumen. Beide Tarife drosseln oberhalb von 20 GB auf 64 kbit/s; zusätzliche Kosten entstehen dadurch nicht. Die Tochter streamt viel und schätzt ihren Verbrauch auf 9 GB, der Sohn auf 4 GB, die Mutter auf 0,8 GB.
Der Vater rechnet: Fix koste 12,90 € plus 15 € je Gigabyte, Flex 4,90 € plus 9 € je Gigabyte. Gleichsetzen ergebe bei 8 € Grundpreisdifferenz und 6 € Preisunterschied je Gigabyte eine Grenze von 1,33 GB, ab der Flex teurer sei. Er behält deshalb den Flex-Tarif für die ganze Familie und kündigt keinen Wechsel an. Ein Wechsel zu Fix wäre mit einer Laufzeit von 24 Monaten verbunden.
1. Stelle die monatlichen Kosten beider Tarife in Abhängigkeit vom Datenvolumen x (in GB) auf und berechne alle Stellen, an denen beide gleich viel kosten.
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Flex: K_Flex(x) = 4,90 + 9·x, solange x ≤ 20.
Fix: bis 3 GB konstant 12,90; darüber K_Fix(x) = 12,90 + 15·(x − 3) = 15·x − 32,10.
Gleichsetzen im Bereich x > 3: 15x − 32,10 = 4,90 + 9x ⇔ 6x = 37,00 ⇔ x ≈ 6,17 GB. Dort kosten beide 60,40 €; darüber ist Fix billiger.
Gleichsetzen im Bereich x ≤ 3: 12,90 = 4,90 + 9x ⇔ x ≈ 0,89 GB. Unter 0,89 GB ist Flex billiger, zwischen 0,89 GB und 6,17 GB ist Fix billiger, oberhalb von 6,17 GB wieder Flex.
Wegen der 100-MB-Pakete sind beide Funktionen Treppenfunktionen; die Schnittstellen verschieben sich um weniger als 0,1 GB, an den Empfehlungen ändert das nichts.
2. Beurteile die Rechnung des Vaters und erkläre seinen Denkfehler.
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Der Vater setzt 12,90 + 15x = 4,90 + 9x und erhält x = 8/6 ≈ 1,33 GB. Das wäre nur richtig, wenn Fix ab dem ersten Gigabyte 15 € berechnen würde.
Tatsächlich sind die ersten 3 GB im Grundpreis enthalten; die 15 € gelten ausschließlich für jedes weitere Gigabyte. Der Vater behandelt damit einen Grenzpreis (Preis der zusätzlichen Einheit) wie einen Durchschnittspreis (Preis je Einheit insgesamt).
Richtig ist die stückweise Funktion. Die erste Schnittstelle liegt bei 0,89 GB, nicht bei 1,33 GB, und es gibt eine zweite bei 6,17 GB. Die Folgerung 'Flex ist ab 1,33 GB teurer' ist zufällig für den Bereich bis 6,17 GB richtig, für die Tochter mit 9 GB aber falsch - dort ist Flex deutlich teurer.
3. Gib für die drei Familienmitglieder je eine Tarifempfehlung mit Rechnung und erläutere, wo das lineare Modell seine Gültigkeit verliert.
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Tochter, 9 GB: Fix = 15 · 9 − 32,10 = 102,90 €; Flex = 4,90 + 81 = 85,90 €. Flex ist um 17,00 € billiger, die Empfehlung des Vaters stimmt hier.
Sohn, 4 GB: Fix = 15 · 4 − 32,10 = 27,90 €; Flex = 4,90 + 36 = 40,90 €. Fix ist um 13,00 € billiger.
Mutter, 0,8 GB: Fix = 12,90 €; Flex = 4,90 + 7,20 = 12,10 €. Praktisch gleich, Flex minimal günstiger.
Das lineare Modell gilt nur bis 20 GB. Oberhalb drosseln beide Tarife, weitere Kosten entstehen nicht; beide Kostenfunktionen werden ab 20 GB konstant (Fix 267,90 €, Flex 184,90 €). Wer mehr als 20 GB verbraucht, entscheidet nur nach dem Preis an dieser Grenze. Außerdem ist das Inklusivvolumen ein Sprung: Bei 3 GB kostet Fix 12,90 €, bei 3,1 GB bereits 14,40 € - ein Verbrauch knapp über der Grenze kann die Empfehlung kippen.