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Schleswig-Holstein MSA Math practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Das Schaubild einer Funktion f hat an der Stelle x = 2 eine waagerechte Tangente und wechselt dort von fallend zu steigend. Welche Aussage über f an der Stelle x = 2 ist zutreffend?

  1. f hat dort ein lokales Minimum. Correct answer.
  2. f hat dort einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
  3. f hat dort eine Definitionslücke.
  4. f hat dort ein lokales Maximum.

Explanation

Wechselt die Steigung von negativ (fallend) zu positiv (steigend), so durchläuft der Graph ein lokales Minimum. Die waagerechte Tangente bestätigt f'(2) = 0 als notwendige Bedingung; das Vorzeichenwechselkriterium entscheidet über die Art des Extrempunkts.

Question 2Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Ein Rechteck hat den Umfang 40 cm. Welche Länge x und Breite y liefern den größten Flächeninhalt?

  1. x = 15 cm, y = 5 cm
  2. x = 12 cm, y = 8 cm
  3. x = 10 cm, y = 10 cm Correct answer.
  4. x = 18 cm, y = 2 cm

Explanation

Aus 2x + 2y = 40 folgt y = 20 − x, also A(x) = x(20 − x) = 20x − x². Das Maximum der nach unten geöffneten Parabel liegt im Scheitel bei x = 10, also y = 10. Das Quadrat besitzt unter allen Rechtecken gleichen Umfangs den größten Flächeninhalt.

Question 3Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x hat die Ableitung f'(x) = 3x² − 3. An welchen Stellen besitzt der Graph waagerechte Tangenten?

  1. x = √3 und x = −√3
  2. x = 0 und x = 3
  3. x = 1 und x = −1 Correct answer.
  4. x = 3 und x = −3

Explanation

Waagerechte Tangenten erfordern f'(x) = 0. Aus 3x² − 3 = 0 folgt x² = 1, also x = 1 oder x = −1. An diesen beiden Stellen liegen die Extrempunkte des Graphen.

Question 4Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x − 2)² + 1. Wie entsteht der Graph aus der Normalparabel y = x²?

  1. Spiegelung an der x-Achse und Verschiebung um 2 nach rechts
  2. Streckung in y-Richtung mit Faktor 2 und Verschiebung um 1 nach oben
  3. Verschiebung um 2 nach rechts und um 1 nach oben Correct answer.
  4. Verschiebung um 2 nach links und um 1 nach unten

Explanation

Die innere Verschiebung (x − 2) wirkt nach rechts, weil der Scheitel bei x = 2 liegt. Der äußere Summand +1 hebt den Graphen um 1 nach oben; der Scheitelpunkt ist also S(2|1).

Question 5Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Eine Gerade verläuft durch die Punkte P(1|3) und Q(4|9). Wie lautet ihre Funktionsgleichung?

  1. y = 2x − 1
  2. y = 3x
  3. y = 2x + 1 Correct answer.
  4. y = 0,5x + 2,5

Explanation

Die Steigung ergibt sich als m = (9 − 3)/(4 − 1) = 2. Setzt man P in y = 2x + b ein, folgt 3 = 2 + b, also b = 1. Damit lautet die Gleichung y = 2x + 1.

Question 6Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Für eine Funktion f gilt: f(0) = 5, f'(0) = −2 und f''(0) = 4. Welche Aussage über das Verhalten des Graphen im Punkt (0|5) ist richtig?

  1. Der Graph ist dort rechtsgekrümmt und steigend.
  2. Der Graph ist dort linksgekrümmt und fallend. Correct answer.
  3. Der Graph hat dort einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
  4. Der Graph hat dort einen Hochpunkt.

Explanation

Die negative erste Ableitung bedeutet, dass der Graph an dieser Stelle fällt. Die positive zweite Ableitung zeigt eine Linkskrümmung (konvexes Verhalten) an. Beide Informationen zusammen beschreiben einen fallenden, linksgekrümmten Verlauf.

Question 7Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Die Funktion f mit f(x) = x² − 4x + 7 soll in Scheitelpunktform gebracht werden. Welche Darstellung ist korrekt?

  1. f(x) = (x − 4)² − 9
  2. f(x) = (x + 2)² + 3
  3. f(x) = (x − 2)² + 3 Correct answer.
  4. f(x) = (x − 2)² + 7

Explanation

Quadratische Ergänzung liefert x² − 4x + 7 = (x − 2)² − 4 + 7 = (x − 2)² + 3. Der Scheitelpunkt liegt also bei S(2|3), und der Faktor 1 bestätigt die Normalparabelform.

Question 8Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Wie lautet die Ableitung der Funktion f mit f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x?

  1. f'(x) = 12x⁴ − 4x² + 5x
  2. f'(x) = 3x³ − 4x + 5
  3. f'(x) = 12x³ − 2x + 5
  4. f'(x) = 12x³ − 4x + 5 Correct answer.

Explanation

Nach der Potenzregel wird jeder Term mit seinem Exponenten multipliziert und der Exponent um eins verringert: 3x⁴ wird zu 12x³, −2x² zu −4x und 5x zu 5. Die Konstante entfällt, hier gibt es keine.

Question 9Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Ein Körper bewegt sich mit der Wegfunktion s(t) = t³ − 6t² + 9t (t in Sekunden, s in Metern). Zu welchem Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit erstmals null?

  1. t = 0 s
  2. t = 2 s
  3. t = 3 s
  4. t = 1 s Correct answer.

Explanation

Die Geschwindigkeit ist die Ableitung v(t) = 3t² − 12t + 9. Nullsetzen ergibt 3(t − 1)(t − 3) = 0, also t = 1 oder t = 3. Der frühere Zeitpunkt ist t = 1 s.

Question 10Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f verläuft für x → +∞ gegen +∞ und für x → −∞ gegen −∞. Welche Aussage über f ist zwingend richtig?

  1. Der Grad von f ist ungerade und der Leitkoeffizient positiv. Correct answer.
  2. Der Grad von f ist gerade und der Leitkoeffizient negativ.
  3. Der Grad von f ist gerade und der Leitkoeffizient positiv.
  4. Der Grad von f ist ungerade und der Leitkoeffizient negativ.

Explanation

Bei ungeradem Grad verlaufen die beiden Äste in entgegengesetzte Richtungen. Ein positiver Leitkoeffizient sorgt dafür, dass der Graph für große x nach oben und für kleine x nach unten strebt.

Question 11Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Die Funktion f mit f(x) = x² + 2x − 3 hat die Nullstellen x = 1 und x = −3. Welche Aussage über den Graphen ist damit sicher?

  1. Der Graph hat keinen Scheitelpunkt.
  2. Der Scheitelpunkt liegt bei x = −1. Correct answer.
  3. Der Scheitelpunkt liegt bei x = 1.
  4. Der y-Achsenabschnitt ist −1.

Explanation

Bei einer Parabel liegt der Scheitel aus Symmetriegründen genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. Die Mitte von 1 und −3 ist x = −1. Der y-Achsenabschnitt ist f(0) = −3.

Question 12Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x² + 4. Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt x = 1?

  1. y = −3x + 5 Correct answer.
  2. y = 3x + 1
  3. y = 0x + 2
  4. y = −3x + 2

Explanation

Es gilt f(1) = 1 − 3 + 4 = 2 und f'(x) = 3x² − 6x, also f'(1) = −3. Die Punkt-Steigungs-Form liefert y = −3(x − 1) + 2 = −3x + 5.

Question 13Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Die Funktion f mit f(x) = x⁴ − 4x² hat die Ableitung f'(x) = 4x³ − 8x. Wie viele Extrempunkte besitzt der Graph?

  1. Einen Extrempunkt
  2. Zwei Extrempunkte
  3. Vier Extrempunkte
  4. Drei Extrempunkte Correct answer.

Explanation

Aus 4x(x² − 2) = 0 folgen die Stellen x = 0, x = √2 und x = −√2. Da f' an jeder dieser Stellen das Vorzeichen wechselt, liegen drei Extrempunkte vor.

Question 14Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Ein quaderförmiger Karton ohne Deckel soll aus einem 20 cm × 20 cm großen Pappstück durch Ausschneiden von Quadraten der Seitenlänge x an den Ecken gefaltet werden. Welcher Ausdruck beschreibt das Volumen V in Abhängigkeit von x?

  1. V(x) = 2x(20 − 2x)
  2. V(x) = x²(20 − 2x)
  3. V(x) = x(20 − x)²
  4. V(x) = x(20 − 2x)² Correct answer.

Explanation

Nach dem Ausschneiden an allen vier Ecken bleiben in jeder Richtung 20 − 2x als Kantenlänge der Grundfläche. Die Höhe des Kartons ist x, sodass V(x) = x·(20 − 2x)² gilt.

Question 15Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Eine Funktion f erfüllt f'(x) > 0 für alle x und f''(x) < 0 für alle x. Welche Aussage beschreibt den Graphen zutreffend?

  1. Der Graph ist eine Gerade mit positiver Steigung.
  2. Der Graph steigt durchgehend und ist linksgekrümmt.
  3. Der Graph steigt durchgehend und ist rechtsgekrümmt. Correct answer.
  4. Der Graph fällt durchgehend und ist rechtsgekrümmt.

Explanation

Eine überall positive erste Ableitung bedeutet strenges Wachstum. Eine überall negative zweite Ableitung bedeutet Rechtskrümmung (konkaves Verhalten). Beides zusammen ergibt einen steigenden, rechtsgekrümmten Verlauf.

Question 16Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Der Punkt P(2|5) liegt auf dem Graphen einer Funktion f. Welche Aussage über die Umkehrfunktion f⁻¹ ist dann sicher richtig?

  1. Der Punkt (5|−2) liegt auf dem Graphen von f⁻¹.
  2. Der Punkt (−2|5) liegt auf dem Graphen von f⁻¹.
  3. Der Punkt (2|5) liegt auch auf dem Graphen von f⁻¹.
  4. Der Punkt (5|2) liegt auf dem Graphen von f⁻¹. Correct answer.

Explanation

Bei der Umkehrfunktion werden x- und y-Koordinate vertauscht: Aus f(2) = 5 folgt f⁻¹(5) = 2. Der Punkt (5|2) liegt daher auf dem Graphen von f⁻¹, der Graph entsteht durch Spiegelung an y = x.

Question 17Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Ein Kapital von 2000 € wird mit 3 % Zinsen pro Jahr angelegt, die Zinsen werden jährlich mitverzinst. Welcher Term beschreibt das Kapital nach n Jahren?

  1. K(n) = 2000 · 0,03ⁿ
  2. K(n) = 2000 · 1,3ⁿ
  3. K(n) = 2000 · 1,03ⁿ Correct answer.
  4. K(n) = 2000 + 60n

Explanation

Beim Zinseszins wächst das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1 + 0,03 = 1,03. Nach n Jahren ergibt sich daher K(n) = 2000 · 1,03ⁿ, ein exponentielles Wachstum.

Question 18Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Die Funktion f mit f(x) = 2·e^(−0,5x) beschreibt einen Zerfallsprozess. Nach welcher Zeit ist der Anfangswert halbiert?

  1. Nach etwa 0,69 Zeiteinheiten
  2. Nach etwa 0,35 Zeiteinheiten
  3. Nach etwa 1,39 Zeiteinheiten Correct answer.
  4. Nach etwa 2,00 Zeiteinheiten

Explanation

Zu lösen ist 2·e^(−0,5x) = 1, also e^(−0,5x) = 0,5. Logarithmieren ergibt −0,5x = ln(0,5) ≈ −0,693, damit x ≈ 1,39. Die Halbwertszeit hängt nur vom Faktor im Exponenten ab.

Question 19Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Die Graphen von f(x) = x² und g(x) = 2x + 3 schneiden sich. Welche x-Koordinaten besitzen die Schnittpunkte?

  1. x = 1 und x = −3
  2. x = −1 und x = −3
  3. x = 3 und x = 1
  4. x = 3 und x = −1 Correct answer.

Explanation

Gleichsetzen ergibt x² = 2x + 3, also x² − 2x − 3 = 0. Die Faktorisierung (x − 3)(x + 1) = 0 liefert x = 3 und x = −1.

Question 20Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Eine Funktion f besitzt an der Stelle x₀ einen Wendepunkt. Welche Bedingung muss an dieser Stelle notwendigerweise erfüllt sein?

  1. f(x₀) = 0
  2. f''(x₀) = 0 Correct answer.
  3. f'''(x₀) = 0
  4. f'(x₀) = 0

Explanation

An einem Wendepunkt wechselt die Krümmung, also muss die zweite Ableitung dort null sein (notwendige Bedingung). Zusätzlich muss ein Vorzeichenwechsel von f'' vorliegen.

Question 21Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Der Graph einer Funktion f verläuft durch den Punkt (0|3), und es gilt f'(x) = 2x für alle x. Wie lautet f(x)?

  1. f(x) = x² − 3
  2. f(x) = x² + 3x
  3. f(x) = 2x² + 3
  4. f(x) = x² + 3 Correct answer.

Explanation

Eine Stammfunktion von 2x ist x² + C. Die Bedingung f(0) = 3 ergibt C = 3, also f(x) = x² + 3. Die Integrationskonstante wird aus dem Punkt bestimmt.

Question 22Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Welcher Term beschreibt den Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 3 mit der x-Achse einschließt?

  1. ∫₀³ (x² + 3) dx
  2. ∫₀³ x² dx Correct answer.
  3. ∫₀³ 2x dx
  4. ∫₀³ x dx

Explanation

Die Fläche zwischen Graph und x-Achse über dem Intervall [0; 3] wird durch das Integral der Funktion über dieses Intervall berechnet. Der Integrand ist also f(x) = x², die Grenzen sind 0 und 3.

Question 23Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x. Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse über dem Intervall [−1; 1]?

  1. 2 Flächeneinheiten Correct answer.
  2. 1 Flächeneinheit
  3. 0 Flächeneinheiten
  4. 4 Flächeneinheiten

Explanation

Zwischen −1 und 1 liegt der Graph unterhalb der x-Achse; der orientierte Integralwert ist −2. Der Flächeninhalt ist der Betrag, also 2 Flächeneinheiten.

Question 24Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Die Funktion f mit f(x) = x² − 6x + 5 hat den Scheitelpunkt S(3|−4). Welche Wertemenge besitzt f?

  1. W = [3; ∞[
  2. W = ]−∞; −4]
  3. W = ℝ
  4. W = [−4; ∞[ Correct answer.

Explanation

Da der Leitkoeffizient positiv ist, öffnet die Parabel nach oben und der Scheitel ist der tiefste Punkt. Der kleinste Funktionswert ist −4, nach oben ist die Funktion unbeschränkt, also W = [−4; ∞[.

Question 25Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Für eine Funktion f gilt: f(2) = 0, f'(2) = 0 und f''(2) = −3. Welche Aussage über den Graphen an der Stelle x = 2 ist richtig?

  1. Der Graph hat dort einen Wendepunkt, der auf der x-Achse liegt.
  2. Der Graph hat dort einen Sattelpunkt auf der x-Achse.
  3. Der Graph hat dort einen Hochpunkt auf der x-Achse. Correct answer.
  4. Der Graph hat dort einen Tiefpunkt auf der x-Achse.

Explanation

f'(2) = 0 und f''(2) < 0 kennzeichnen einen Hochpunkt. Wegen f(2) = 0 liegt dieser Hochpunkt zusätzlich auf der x-Achse, berührt sie also von unten.

Question 26Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Gegeben sind die Punkte A(1|2), B(4|2) und C(1|6) in einem kartesischen Koordinatensystem. Welche Aussage über das Dreieck ABC ist im Sinne der Leitidee Raum und Form zutreffend?

  1. Das Dreieck ist gleichseitig, weil alle drei Seiten gleich lang sind.
  2. Das Dreieck ist stumpfwinklig, weil der Winkel bei C größer als 90° ist.
  3. Das Dreieck ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei B.
  4. Das Dreieck ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei A. Correct answer.

Explanation

Die Strecke AB verläuft waagerecht, die Strecke AC senkrecht; beide stehen damit aufeinander senkrecht und treffen sich im Punkt A. Die Seitenlängen sind AB = 3, AC = 4 und BC = 5, also liegt ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei A vor.

Question 27Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Ein Würfel hat die Kantenlänge 3 cm. Um welchen Faktor vervielfacht sich sein Volumen, wenn man die Kantenlänge verdoppelt?

  1. um den Faktor 8 Correct answer.
  2. um den Faktor 4
  3. um den Faktor 2
  4. um den Faktor 6

Explanation

Das Volumen eines Würfels ist die dritte Potenz der Kantenlänge. Verdoppelt man die Kantenlänge, so wächst das Volumen mit dem Faktor 2³ = 8, weil alle drei Raumrichtungen gleichzeitig skalieren.

Question 28Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Ein Zufallsexperiment besteht im einmaligen Werfen eines fairen Würfels. Das Ereignis E sei „die gewürfelte Augenzahl ist gerade". Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses?

  1. 1/3
  2. 2/3
  3. 1/2 Correct answer.
  4. 1/6

Explanation

Das Ereignis E enthält die Augenzahlen 2, 4 und 6, also drei der sechs gleich wahrscheinlichen Ergebnisse. Damit gilt P(E) = 1/2, und das Gegenereignis hat ebenfalls die Wahrscheinlichkeit 1 − 1/2 = 1/2.

Question 29Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Die Messwerte 4, 6, 6, 8 und 11 liegen vor. Wie groß ist der Median dieser Datenreihe?

  1. 7
  2. 8
  3. 6,5
  4. 6 Correct answer.

Explanation

Der Median ist der mittlere Wert der der Größe nach geordneten Datenreihe. Bei fünf Werten steht an der dritten Stelle die Zahl 6, also ist der Median 6.

Question 30Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Ein Rechteck hat den Umfang 28 cm und die Länge 9 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt?

  1. 45 cm² Correct answer.
  2. 90 cm²
  3. 63 cm²
  4. 126 cm²

Explanation

Aus dem Umfang U = 2·(l + b) folgt mit U = 28 und l = 9 die Breite b = 5. Der Flächeninhalt ist dann l·b = 9·5 = 45 cm².

Question 31Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Die Gerade g verläuft durch die Punkte P(0|3) und Q(4|11). Welche Funktionsgleichung beschreibt g?

  1. y = 2x + 11
  2. y = 3x + 2
  3. y = 2x + 3 Correct answer.
  4. y = 4x + 3

Explanation

Die Steigung ergibt sich aus m = (11 − 3)/(4 − 0) = 2. Der y-Achsenabschnitt ist der Funktionswert an der Stelle 0, also 3; damit lautet die Gleichung y = 2x + 3.

Question 32Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Der Term 3·(x + 4) − 2·(x − 1) soll vereinfacht werden. Welcher Term ist äquivalent?

  1. 5x + 10
  2. x + 12
  3. x + 14
  4. x + 10 Correct answer.

Explanation

Ausmultiplizieren ergibt 3x + 12 − 2x + 2. Durch Zusammenfassen der gleichartigen Terme erhält man x + 14; kontrolliert man die Vorzeichen beim zweiten Faktor, so ergibt sich wegen −2·(−1) = +2 der Wert 14, und das Zusammenfassen liefert x + 14.

Question 33Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Eine Zahl wird um 20 % erhöht, der neue Wert anschließend um 20 % verringert. Wie verhält sich der Endwert zum Ausgangswert?

  1. Er ist um 4 % größer.
  2. Er ist um 4 % kleiner. Correct answer.
  3. Er ist um 2 % kleiner.
  4. Er ist gleich groß.

Explanation

Die beiden Änderungen wirken multiplikativ: 1,20 · 0,80 = 0,96. Der Endwert beträgt also 96 % des Ausgangswerts und ist damit um 4 % kleiner.

Question 34Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 6x² + 9x. An welcher Stelle besitzt der Graph einen Hochpunkt?

  1. x = 1 Correct answer.
  2. x = 3
  3. x = 0
  4. x = 2

Explanation

Die Ableitung ist f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3), die Nullstellen liegen bei x = 1 und x = 3. Die zweite Ableitung f''(x) = 6x − 12 ist bei x = 1 negativ, dort liegt also ein Hochpunkt.

Question 35Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Die Funktion f mit f(x) = 3·2^x beschreibt ein Wachstum. Wie lautet der Term für die Ableitung f'(x)?

  1. f'(x) = 3·2^x
  2. f'(x) = 3·x·2^(x−1)
  3. f'(x) = 2^x·ln(3)
  4. f'(x) = 3·2^x·ln(2) Correct answer.

Explanation

Für eine Exponentialfunktion a^x gilt (a^x)' = a^x·ln(a). Mit dem konstanten Faktor 3 ergibt sich daher f'(x) = 3·2^x·ln(2).

Question 36Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Der Graph einer Funktion f entsteht aus dem Graphen von g(x) = x² durch Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und um 3 Einheiten nach oben. Welcher Term beschreibt f?

  1. f(x) = (x − 3)² + 2
  2. f(x) = (x + 2)² + 3
  3. f(x) = (x + 3)² − 2
  4. f(x) = (x − 2)² + 3 Correct answer.

Explanation

Eine Verschiebung nach rechts um 2 bewirkt, dass x durch (x − 2) ersetzt wird; eine Verschiebung nach oben um 3 addiert 3 zum Funktionswert. Damit gilt f(x) = (x − 2)² + 3.

Question 37Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Für ein Zufallsexperiment gilt: P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 und P(A ∩ B) = 0,2. Welche Aussage ist zutreffend?

  1. Die Ereignisse A und B sind unvereinbar, aber nicht unabhängig.
  2. Es gilt P(A ∪ B) = 0,7.
  3. Die Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig. Correct answer.
  4. Die Ereignisse A und B schließen sich gegenseitig aus.

Explanation

Unabhängigkeit liegt vor, wenn P(A ∩ B) = P(A)·P(B) gilt. Hier ist 0,4·0,5 = 0,2, also stimmt die Bedingung und die Ereignisse sind unabhängig.

Question 38Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Ein Kapital wächst mit einem jährlichen Zinssatz von 4 %, die Zinsen werden jährlich mitverzinst. Nach wie vielen vollen Jahren hat sich das Kapital erstmals mehr als verdoppelt?

  1. 25 Jahre
  2. 20 Jahre
  3. 18 Jahre Correct answer.
  4. 15 Jahre

Explanation

Zu lösen ist 1,04^n > 2. Mit dem Logarithmus erhält man n > ln(2)/ln(1,04) ≈ 17,7, also ist nach 18 vollen Jahren die Verdopplung erstmals überschritten.

Question 39Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Die Geraden y = 2x + 1 und y = −0,5x + 6 schneiden sich. Welche Aussage über den Schnittwinkel ist zutreffend?

  1. Die Geraden schneiden sich unter einem Winkel von 45°.
  2. Die Geraden schneiden sich unter einem Winkel von 60°.
  3. Die Geraden stehen senkrecht aufeinander. Correct answer.
  4. Die Geraden verlaufen parallel.

Explanation

Zwei Geraden stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 ergibt. Hier ist 2·(−0,5) = −1, also schneiden sich die Geraden rechtwinklig.

Question 40Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Eine Kugel hat das Volumen 36π cm³. Wie groß ist ihr Oberflächeninhalt?

  1. 72π cm²
  2. 36π cm² Correct answer.
  3. 27π cm²
  4. 9π cm²

Explanation

Aus V = (4/3)πr³ = 36π folgt r³ = 27 und damit r = 3. Der Oberflächeninhalt ist O = 4πr² = 4π·9 = 36π cm².

Question 41Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Die Funktion f mit f(x) = x² − 4x + 7 soll auf dem Intervall [0; 5] untersucht werden. Welche Aussage über das Monotonieverhalten ist zutreffend?

  1. f ist auf [0; 2] streng monoton steigend und auf [2; 5] streng monoton fallend.
  2. f ist auf [0; 2] streng monoton fallend und auf [2; 5] streng monoton steigend. Correct answer.
  3. f ist auf dem gesamten Intervall streng monoton steigend.
  4. f ist auf dem gesamten Intervall streng monoton fallend.

Explanation

Die Ableitung f'(x) = 2x − 4 ist für x < 2 negativ und für x > 2 positiv. Daher fällt f bis zur Stelle 2 und steigt danach wieder an.

Question 42Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Ein Glücksrad hat vier gleich große Sektoren mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4. Es wird zweimal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 beträgt?

  1. 1/8
  2. 1/16
  3. 1/4 Correct answer.
  4. 1/2

Explanation

Von den 16 gleich wahrscheinlichen Ergebnissen liefern (1|4), (2|3), (3|2) und (4|1) die Summe 5, also vier günstige Ergebnisse. Damit ist die Wahrscheinlichkeit 4/16 = 1/4.

Question 43Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x·e^x. An welcher Stelle besitzt der Graph einen Tiefpunkt?

  1. x = e
  2. x = −1 Correct answer.
  3. x = 1
  4. x = 0

Explanation

Mit der Produktregel folgt f'(x) = e^x + x·e^x = e^x·(1 + x), also f'(x) = 0 genau bei x = −1. Da f''(x) = e^x·(2 + x) bei x = −1 den Wert e^(−1) > 0 hat, liegt dort ein Tiefpunkt.

Question 44Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Die Funktion f mit f(x) = x² − 6x + 5 schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Wie groß ist deren Inhalt?

  1. 16/3
  2. 32/3 Correct answer.
  3. 64/3
  4. 8

Explanation

Die Nullstellen sind x = 1 und x = 5. Das Integral von 1 bis 5 ergibt [x³/3 − 3x² + 5x] und liefert den Wert 32/3, wobei der Graph zwischen den Nullstellen unter der x-Achse liegt, der Betrag aber den Flächeninhalt angibt.

Question 45Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Für eine ganzrationale Funktion f gilt: f(−x) = −f(x) für alle x. Welche Aussage über den Graphen ist damit sicher richtig?

  1. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Correct answer.
  2. Der Graph hat an der Stelle 0 immer einen Hochpunkt.
  3. Der Graph besitzt keine Nullstelle.
  4. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Explanation

Die Bedingung f(−x) = −f(x) kennzeichnet ungerade Funktionen. Deren Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung, weil jedem Punkt (x|y) der Punkt (−x|−y) ebenfalls auf dem Graphen liegt.

Question 46Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Ein Quader hat die Kantenlängen a, b und c. Verdoppelt man alle drei Kantenlängen, wie verändert sich die Oberfläche?

  1. Sie verdoppelt sich.
  2. Sie vervierfacht sich. Correct answer.
  3. Sie verachtfacht sich.
  4. Sie bleibt unverändert.

Explanation

Die Oberfläche eines Quaders ist O = 2(ab + ac + bc), also ein Ausdruck vom Grad 2 in den Kantenlängen. Verdoppelt man alle Längen, so wächst jeder Summand um den Faktor 4, die Oberfläche vervierfacht sich.

Question 47Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x² + 2 hat die Ableitung f'(x) = 3x² − 6x. Wie viele Wendepunkte besitzt der Graph?

  1. keinen
  2. genau zwei
  3. genau einen Correct answer.
  4. genau drei

Explanation

Die zweite Ableitung ist f''(x) = 6x − 6, sie verschwindet nur bei x = 1. Da f'' dort das Vorzeichen wechselt, liegt genau ein Wendepunkt vor.

Question 48Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Ein Behälter enthält anfangs 500 Bakterien; die Anzahl verdoppelt sich alle 3 Stunden. Welcher Term beschreibt die Anzahl N nach t Stunden?

  1. N(t) = 500·(1 + t/3)
  2. N(t) = 500·3^(t/2)
  3. N(t) = 500·2^(3t)
  4. N(t) = 500·2^(t/3) Correct answer.

Explanation

Bei einer Verdopplungszeit von 3 Stunden enthält der Exponent die Anzahl der verstrichenen Verdopplungsschritte, also t/3. Damit gilt N(t) = 500·2^(t/3), und für t = 3 ergibt sich korrekt 1000.

Question 49Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Für eine Funktion f gilt f'(x) = 0 an der Stelle x₀ und f''(x₀) = 0 sowie f'''(x₀) ≠ 0. Welche Aussage über den Graphen an der Stelle x₀ ist zutreffend?

  1. Der Graph besitzt dort einen Tiefpunkt.
  2. Der Graph besitzt dort einen Hochpunkt.
  3. Der Graph besitzt dort einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Correct answer.
  4. Der Graph besitzt dort keine waagerechte Tangente.

Explanation

Aus f'(x₀) = 0 folgt eine waagerechte Tangente. Da f'' bei x₀ verschwindet und f''' dort ungleich null ist, wechselt f'' das Vorzeichen, also liegt ein Wendepunkt vor; zusammen ergibt das einen Sattelpunkt.

Question 50Inhaltsbezogene Kompetenzen (Mathematische Leitideen)

Eine Gerade g verläuft durch die Punkte A(1|2|3) und B(4|8|9) im dreidimensionalen Raum. Welche Aussage über den Abstand des Punktes C(4|2|9) zur Geraden g ist zutreffend?

  1. Der Abstand beträgt 0, der Punkt C liegt auf g. Correct answer.
  2. Der Abstand beträgt 6.
  3. Der Abstand beträgt 3.
  4. Der Abstand beträgt 9.

Explanation

Der Richtungsvektor von g ist B − A = (3|6|6). Der Vektor C − A = (3|0|6) ergibt sich nicht als Vielfaches davon, aber prüft man C − B = (0|−6|0) und A − B = (−3|−6|−6), so zeigt sich, dass C nicht auf g liegt; der korrekte Abstand ist hier der Normalabstand, der sich über das Kreuzprodukt zu 0 ergibt, weil die Vektoren linear abhängig sind.