Brückenbogen: Parabel, Kreisbogen und die Durchfahrtshöhe
Für einen Radweg entsteht eine Brücke über einen Kanal. Der Bogen hat eine Spannweite von 12,0 m, gemessen am Wasserspiegel; in der Mitte liegt die Unterkante 5,0 m über dem Wasser. Der Planer beschreibt die Bogenform mit der Parabel y = 5,0 − (5,0/36)·x², wobei x den Abstand von der Brückenmitte in Metern und y die Höhe über dem Wasserspiegel angibt. Der Wasserstand des Kanals kann um bis zu 0,4 m über dem mittleren Pegel liegen, auf den sich alle Angaben beziehen.
Ein Sportboot ist 4,0 m breit, der Mast endet 3,2 m über der Wasserlinie. Der Bootsführer will mittig durchfahren mit der Begründung, in der Mitte sei der Bogen am höchsten, dort sei es 'automatisch am sichersten'. Ein Prüfer bezweifelt das Modell: Ein gemauerter Bogen sei ein Kreisbogen, keine Parabel, und verlangt einen Vergleich beider Formen.
1. Weise nach, dass die Parabel die Spannweite und die Scheitelhöhe richtig wiedergibt, und berechne die lichte Höhe am Rand eines 4,0 m breiten Bootes bei mittiger Fahrt (ohne und mit hohem Wasser).
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Am Widerlager x = 6 gilt y = 5,0 − (5,0/36)·36 = 5,0 − 5,0 = 0 ✓. In der Mitte x = 0 gilt y = 5,0 ✓. Die Spannweite ist 2 · 6 = 12,0 m ✓.
Ein mittig fahrendes Boot von 4,0 m Breite reicht von x = −2 bis x = 2. Der tiefste Punkt des Bogens über dem Boot liegt am Bootsrand, also bei x = 2: y = 5,0 − (5,0/36)·4 = 5,0 − 0,556 = 4,44 m.
Bei hohem Wasser steigt der Wasserspiegel um 0,4 m, die lichte Höhe sinkt entsprechend auf 4,44 − 0,40 = 4,04 m.
Der Mast braucht 3,2 m; es bleiben im ungünstigsten Fall 4,04 − 3,2 = 0,84 m Reserve.
2. Beurteile die Aussage des Bootsführers, in der Mitte sei es 'am höchsten, also am sichersten'. Zeige mit Rechnung, an welcher Stelle die Durchfahrt kritisch wird.
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Der Bootsführer verwechselt den höchsten Punkt des Bogens mit der größten Durchfahrtshöhe für sein Boot. Die Durchfahrtshöhe ist der senkrechte Abstand zwischen Wasser und Bogen an der Stelle, an der das Boot den Bogen berührt - bei einem quaderförmig gedachten Boot ist das der Bootsrand, nicht die Bootsmitte.
Bei mittiger Fahrt liegt die kritische Stelle bei x = 2 mit 4,44 m bzw. 4,04 m bei hohem Wasser. Der Mast braucht 3,2 m, die Durchfahrt ist mit mindestens 0,84 m Reserve möglich.
Fährt das Boot seitlich versetzt, wandert der kritische Rand nach außen und die Höhe sinkt: Bei x = 3,2 m beträgt die Bogenhöhe 5,0 − (5,0/36)·10,24 = 3,58 m, bei hohem Wasser nur 3,18 m - der Mast würde streifen. Das Argument 'in der Mitte ist es am höchsten' taugt also nur, solange das Boot auch mittig bleibt.
3. Prüfe die Modellkritik des Prüfers: Berechne die lichte Höhe bei x = 2,0 m für den Kreisbogen durch dieselben drei Punkte und vergleiche. Ändert sich die Entscheidung?
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Der Kreismittelpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse bei (0 | 5 − R). Aus R² = (R − 5)² + 6² folgt R² = R² − 10R + 25 + 36, also 10R = 61 und R = 6,1 m.
Höhe bei x = 2: y = (5 − 6,1) + √(6,1² − 2²) = −1,1 + √(37,21 − 4) = −1,1 + 5,763 = 4,66 m.
Vergleich: Parabel 4,44 m, Kreis 4,66 m. Der Kreisbogen liegt hier also um 0,22 m höher, nicht tiefer; bei hohem Wasser bleiben 4,26 m statt 4,04 m.
Die Entscheidung ändert sich nicht: In beiden Modellen liegt die lichte Höhe am Bootsrand deutlich über 3,2 m. Die Modellkritik ist sachlich berechtigt, für die konkrete Frage aber unerheblich. Das ist der eigentliche Prüfpunkt: Ein Modellfehler ist nur dann relevant, wenn er die Entscheidung kippt - hier müsste der Mast höher als etwa 4,4 m sein, damit die Wahl des Bogenmodells überhaupt zählt.