Aufschlag und Rabatt: Was ein Beispiel zeigt und was ein Term beweist
Im Mathematikunterricht diskutiert eine 9. Klasse die Werbung eines Möbelhauses: 'Erst 20 Prozent Preisaufschlag, dann 20 Prozent Rabatt – Sie zahlen wie vorher!' Ein Schüler rechnet an einem Sofa für 450 €: 450 · 1,20 = 540 €, dann 540 · 0,80 = 432 €, und stellt fest, dass man 18 € weniger zahlt. Ein zweiter Schüler wendet ein, das sei Zufall und hänge vom Preis ab; bei 300 € könne es anders aussehen.
Die Lehrkraft notiert drei Behauptungen an der Tafel: (1) Bei jedem Ausgangspreis ist der Endpreis kleiner als der Ausgangspreis. (2) Bei 20 Prozent Aufschlag und 20 Prozent Rabatt beträgt der Endpreis immer 96 Prozent des Ausgangspreises. (3) Bei 10 Prozent Aufschlag und 10 Prozent Rabatt ist der Unterschied kleiner als bei 20 Prozent. Ein dritter Schüler behauptet, ein einziges Gegenbeispiel reiche aus, um eine solche Regel zu widerlegen; um sie zu beweisen, reiche es dagegen nie.
1. Prüfe die Behauptungen (1) und (2) allgemein, indem du den Ausgangspreis p nennst. Erkläre, was das Ergebnis über die Werbung aussagt.
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Mit p als Ausgangspreis kostet das Sofa nach dem Aufschlag p · 1,20, nach dem Rabatt p · 1,20 · 0,80 = p · 0,96.
Behauptung (2) ist damit allgemein bewiesen: Der Endpreis ist immer 96 Prozent des Ausgangspreises, unabhängig von p. Für p = 450 € ergibt das 432 €, was die Beispielrechnung bestätigt.
Behauptung (1) folgt daraus unmittelbar: 0,96 · p < p für jedes p > 0, der Endpreis liegt immer um 4 Prozent niedriger.
Für die Werbung heißt das: Die Aussage 'Sie zahlen wie vorher' ist falsch, aber nicht, weil der Rabatt zu klein wäre - der Kunde zahlt tatsächlich weniger. Der Grund ist die Reihenfolge: Der Rabatt wird auf den bereits erhöhten Preis berechnet. 0,8 · 1,2 ist nicht 1, sondern 0,96, weil sich die beiden Prozentangaben auf unterschiedliche Grundwerte beziehen. Genau diese Einsicht verlangt die Aufgabe, nicht das Nachrechnen eines Beispiels.
2. Untersuche Behauptung (3): Berechne den Endpreis für p = 450 € bei 10 Prozent Aufschlag und 10 Prozent Rabatt und leite eine allgemeine Formel her. Wie hängt der Verlust vom Prozentsatz ab?
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Bei 10 Prozent: 450 · 1,10 · 0,90 = 450 · 0,99 = 445,50 €. Der Verlust beträgt 4,50 €, also 1 Prozent.
Bei 20 Prozent: 450 · 1,20 · 0,80 = 450 · 0,96 = 432 €. Der Verlust beträgt 18 €, also 4 Prozent.
Allgemein mit Prozentsatz q: p · (1 + q)(1 − q) = p · (1 − q²). Der Verlust ist also p · q².
Behauptung (3) stimmt: Bei 10 Prozent sind es 1 Prozent Verlust, bei 20 Prozent 4 Prozent. Der Verlust wächst quadratisch - eine Verdopplung des Prozentsatzes vervierfacht ihn.
Das ist für die Werbung der entscheidende Punkt: Der Effekt ist umso größer, je höher der beworbene Prozentsatz ist. Bei 50 Prozent Aufschlag und 50 Prozent Rabatt blieben nur 75 Prozent des Preises übrig, der Kunde zahlte ein Viertel weniger.
3. Beurteile die Aussage des zweiten Schülers ('Das ist Zufall, bei anderen Preisen stimmt es vielleicht') und die These des dritten Schülers über Gegenbeispiel und Beweis.
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Der zweite Schüler hat in der Sache unrecht, in der Methode aber recht: Sein Verdacht, der Fall 450 € könne ein Zufall sein, lässt sich nicht durch weitere Beispiele ausräumen, sondern nur durch den allgemeinen Term.
Ein Gegenbeispiel widerlegt eine Allaussage: Wer behauptet 'bei jedem Preis bleibt der Endpreis gleich', ist mit einem einzigen Preis widerlegt, bei dem das nicht stimmt. Mehr leistet ein Gegenbeispiel nicht - es zeigt nicht, dass die Regel immer falsch ist, sondern nur, dass sie nicht immer gilt.
Um eine Allaussage zu beweisen, reicht kein Beispiel, auch kein noch so gut gewähltes: Beispiele zeigen nur, dass es in diesen Fällen gilt. Nötig ist ein Term wie p · 1,2 · 0,8 = 0,96 · p, der für jede eingesetzte Zahl gilt, weil er aus den Rechengesetzen folgt.
Die These des dritten Schülers ist damit im Kern richtig. Für den Unterricht heißt das: Widerlegen durch ein Gegenbeispiel, Beweisen durch einen Term - und die Angabe, für welchen Bereich der Term gilt (hier: alle p > 0).