Klassenfahrt: Busangebote mit Grundgebühr und Kilometerkosten vergleichen
Die Abschlussklasse 10a der Realschule plant eine Tagesfahrt zum 195 km entfernten Technikmuseum. Die Hin- und Rückfahrt werden mit dem Bus zurückgelegt, also insgesamt 390 km. Zwei Busunternehmen haben Angebote abgegeben. Unternehmen A verlangt eine Grundgebühr von 200 € und zusätzlich 1,30 € pro gefahrenem Kilometer. Unternehmen B verlangt 340 € Grundgebühr und 0,90 € pro Kilometer. Beide Preise verstehen sich inklusive Mehrwertsteuer und Fahrer. Die Klasse besteht aus 28 Schülerinnen und Schülern sowie zwei Lehrkräften; ein Reisebus mit 50 Sitzplätzen reicht in beiden Fällen. Der Förderverein stellt höchstens 700 € für die Fahrt bereit. Die Klasse möchte außerdem einen Zwischenstopp an einem Rastplatz einlegen, der die Gesamtstrecke um 20 km verlängert, sofern dadurch keine Mehrkosten über 40 € entstehen. Die Entscheidung soll nachvollziehbar begründet werden.
1. Stelle für beide Unternehmen eine lineare Kostenfunktion in Abhängigkeit von der gefahrenen Gesamtstrecke x in km auf und berechne die Kosten für die geplante Fahrt ohne Zwischenstopp bei x = 390 km.
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Sei x die insgesamt gefahrene Strecke in km. A(x) = 200 + 1,30x B(x) = 340 + 0,90x Für x = 390: A(390) = 200 + 1,30·390 = 200 + 507 = 707 €. B(390) = 340 + 0,90·390 = 340 + 351 = 691 €. B ist 16 € günstiger und bleibt unter dem Budget von 700 €; A überschreitet es um 7 €.
2. Berechne den Schnittpunkt der beiden Kostenfunktionen und interpretiere ihn im Sachkontext. Prüfe anschließend, ob sich der Zwischenstopp lohnt, wenn dadurch x = 410 km gefahren werden und die Klasse ohnehin Unternehmen B wählt.
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Schnittpunkt: 200 + 1,30x = 340 + 0,90x → 0,40x = 140 → x = 350 km. Für x < 350 km ist A günstiger, für x > 350 km B. Bei 390 km liegt man bereits über 350 km, also B. Zwischenstopp: x = 390 + 20 = 410 km. B(410) = 340 + 0,90·410 = 340 + 369 = 709 €. Gegenüber 691 € sind das 18 € Mehrkosten. Die 40-€-Grenze für Mehrkosten wird zwar eingehalten, aber das harte Budget von 700 € wird um 9 € überschritten. Ohne Budgeterhöhung ist der Zwischenstopp nicht zulässig.
3. Die Schule erhält ein Sonderbudget von 720 €. Entscheide begründet, welches Unternehmen bei der Fahrt mit Zwischenstopp mit x = 410 km gewählt werden sollte und wie viel Budget übrig bleibt.
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Bei x = 410 km: A(410) = 200 + 1,30·410 = 200 + 533 = 733 € (über 720 €). B(410) = 340 + 0,90·410 = 709 € (unter 720 €). B ist 24 € günstiger und bleibt im Budget; übrig bleiben 720 − 709 = 11 €. Also B wählen und den Zwischenstopp einlegen.