Sachsen-Anhalt Realschulabschluss Math flashcards

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Steigung einer Geraden

m = Δy/Δx, berechnet aus zwei Punkten der Geraden. Positives m bedeutet steigend, negatives m fallend; m = 0 ergibt eine waagerechte Gerade.

y-Achsenabschnitt n

Der Wert n in y = m·x + n. Er gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet, nämlich im Punkt (0 | n).

Nullstelle linearer Funktionen

Lösung von 0 = m·x + n, also x = −n/m für m ≠ 0. An dieser Stelle schneidet die Gerade die x-Achse.

Senkrechte Geraden

Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn ihre Steigungen die Bedingung m₁·m₂ = −1 erfüllen, also negativ reziprok zueinander sind.

Scheitelpunktform

y = a·(x − d)² + e. Der Scheitelpunkt ist S(d | e); das Vorzeichen von a bestimmt die Öffnungsrichtung der Parabel.

Diskriminante

D = b² − 4ac in der Lösungsformel quadratischer Gleichungen. Bei D > 0 gibt es zwei, bei D = 0 eine und bei D < 0 keine reelle Lösung.

Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel ist. Die Umkehrung gilt ebenfalls.

Sinus, Kosinus, Tangens

Im rechtwinkligen Dreieck: sin α = Gegenkathete/Hypotenuse, cos α = Ankathete/Hypotenuse, tan α = Gegenkathete/Ankathete. Der Tangens ist der Quotient aus Sinus und Kosinus.

Satz des Thales

Liegt Punkt C auf dem Kreis über dem Durchmesser AB, so ist der Winkel bei C ein rechter Winkel von 90 Grad.

Zinseszinsformel

Kₙ = K₀·(1 + p/100)ⁿ. Das Anfangskapital wächst über n Jahre mit jährlichem Zinssatz p; bei Abnahme wird (1 − p/100)ⁿ verwendet.

Prozentwert berechnen

W = G·p/100. Der Grundwert G wird mit dem Prozentsatz p multipliziert und durch 100 geteilt; umgekehrt gilt G = W·100/p.

Strahlensatz

Werden zwei vom selben Zentrum ausgehende Strahlen von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Strahlenabschnitte wie die Parallelenabschnitte: a/b = c/d.

Kreisfläche und Kreisumfang

Flächeninhalt A = π·r² und Umfang U = 2·π·r. Der Durchmesser d ist doppelt so groß wie der Radius r.

Dreiecksfläche

A = ½·g·h, also halbe Grundseite mal zugehörige Höhe. Die Höhe steht senkrecht auf der gewählten Grundseite.

Trapezfläche

A = ½·(a + c)·h. Die beiden parallelen Seiten a und c werden addiert, halbiert und mit dem senkrechten Abstand h multipliziert.

Volumen von Zylinder und Kegel

Zylinder: V = π·r²·h. Kegel: V = ⅓·π·r²·h, also ein Drittel des Zylindervolumens bei gleicher Grundfläche und Höhe.

Volumen von Pyramide und Prisma

Prisma: V = G·h mit Grundfläche G. Pyramide: V = ⅓·G·h; sie hat bei gleicher Grundfläche und Höhe ein Drittel des Prismavolumens.

Oberfläche eines Quaders

O = 2·(a·b + a·c + b·c). Die drei paarweise gleichen Rechteckflächen des Quaders werden addiert und verdoppelt.

Winkelsumme im Dreieck

Die Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180 Grad; im Viereck beträgt die Summe 360 Grad. Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind gleich groß.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse geteilt durch Anzahl aller gleich möglichen Ergebnisse. Für das Gegenereignis gilt P(nicht E) = 1 − P(E).

Pfadregel

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten werden Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert; Wahrscheinlichkeiten mehrerer günstiger Pfade werden addiert.

Arithmetisches Mittel

x̄ = Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl n der Werte. Ausreißer beeinflussen das arithmetische Mittel stärker als den Median.

Median

Der mittlere Wert einer der Größe nach geordneten Datenliste. Bei gerader Anzahl n wird das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte gebildet.

Spannweite

Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert einer Datenreihe. Sie ist ein einfaches Streuungsmaß, reagiert aber stark auf Ausreißer.

Maßstab

Maßstab 1 : n bedeutet, dass 1 cm in der Zeichnung n cm in der Wirklichkeit entspricht. Flächen skalieren mit n², Volumina mit n³.

Binomische Formeln

(a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² und (a + b)(a − b) = a² − b². Sie dienen dem Ausmultiplizieren und dem Faktorisieren.

Potenzgesetze

aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ sowie a⁰ = 1 für a ≠ 0 und a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Lineares Gleichungssystem

Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen werden mit Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren gelöst. Die Lösung ist das gemeinsame Wertepaar (x | y).

Proportionale Zuordnung

y = k·x mit konstantem Quotienten y/x. Bei antiproportionaler Zuordnung gilt y = k/x, dort ist das Produkt x·y konstant.

Kosinussatz

c² = a² + b² − 2ab·cos γ. Er berechnet eine Seite im beliebigen Dreieck, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind.

Sinussatz

a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Er verknüpft Seiten und gegenüberliegende Winkel im beliebigen Dreieck, auch ohne rechten Winkel.

Exponentielles Wachstum erkennen

Bei konstantem Quotienten aufeinanderfolgender y-Werte liegt exponentielles Wachstum vor. Bei konstanten Differenzen ist das Wachstum linear.