Sachsen-Anhalt Realschulabschluss Math cheat sheet

Lineare Funktion: y = m·x + n; m ist die Steigung (m = Δy/Δx aus zwei Punkten), n der y-Achsenabschnitt (Schnitt mit der y-Achse bei x = 0).

Nullstelle einer linearen Funktion: 0 = m·x + n ⇒ x = −n/m, sofern m ≠ 0; bei m = 0 ist die Gerade waagerecht und hat keine oder unendlich viele Nullstellen.

Parallele Geraden haben gleiche Steigung m; senkrechte Geraden erfüllen m₁·m₂ = −1 (Steigungen sind negativ reziprok).

Quadratische Funktion in Scheitelpunktform: y = a·(x − d)² + e mit Scheitelpunkt S(d | e); a > 0 öffnet nach oben, a < 0 nach unten, |a| steuert die Breite.

Quadratische Lösungsformel für a·x² + b·x + c = 0: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a); die Diskriminante D = b² − 4ac entscheidet: D > 0 zwei, D = 0 eine, D < 0 keine reelle Lösung.

Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck: a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel) ist; Umkehrung gilt: Ist a² + b² = c², dann ist der Winkel gegenüber c rechtwinklig.

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck: sin α = Gegenkathete/Hypotenuse, cos α = Ankathete/Hypotenuse, tan α = Gegenkathete/Ankathete = sin α / cos α.

Prozentrechnung und Zinseszins: Grundwert G, Prozentwert W = G·p/100; Wachstum mit Zinseszins Kₙ = K₀·(1 + p/100)ⁿ, Abnahme entsprechend mit (1 − p/100)ⁿ.

Strahlensatz bei zwei von einem Zentrum ausgehenden Strahlen, die von Parallelen geschnitten werden: a/b = c/d; Längenverhältnisse auf den Strahlen sind gleich dem Verhältnis der Parallelenabschnitte.

Flächeninhalt und Umfang: Rechteck A = a·b, U = 2(a + b); Dreieck A = ½·g·h; Kreis A = π·r², U = 2·π·r; Trapez A = ½·(a + c)·h.

Volumen und Oberfläche: Quader V = a·b·c, O = 2(ab + ac + bc); Zylinder V = π·r²·h, O = 2πr² + 2πrh; Prisma V = G·h; Pyramide und Kegel V = ⅓·G·h.

Satz des Thales: Liegt der Punkt C auf dem Kreis mit Durchmesser AB, dann ist der Winkel bei C ein rechter Winkel (90°); Umkehrung gilt ebenfalls.

Winkelsummen: im Dreieck 180°, im Viereck 360°; Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind gleich groß; Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°, Scheitelwinkel sind gleich.

Wahrscheinlichkeit nach Laplace: P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl aller gleich möglichen Ergebnisse; Gegenwahrscheinlichkeit P(nicht E) = 1 − P(E).

Zweistufige Zufallsexperimente: Pfadregel – Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren, Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade für ein Ereignis addieren; Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten ist 1.

Arithmetisches Mittel x̄ = (Summe aller Werte)/n; Median ist der mittlere Wert der geordneten Liste (bei geradem n das Mittel der beiden mittleren Werte); Spannweite = größter minus kleinster Wert.

Maßstab: Maßstab 1 : n bedeutet, 1 cm auf der Zeichnung entspricht n cm in der Wirklichkeit; Längen mit n multiplizieren, Flächen mit n², Volumina mit n³.

Einheiten sicher umrechnen: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 m² = 10 000 cm²; 1 m³ = 1 000 000 cm³ = 1000 l; 1 l = 1 dm³; 1 km/h = 1/3,6 m/s.

Runden und Ergebnisform beachten: Zwischenergebnisse nicht zu früh runden, Endergebnis auf die geforderte Genauigkeit runden und mit Einheit angeben; bei Sachaufgaben Antwortsatz mit Bezug zur Fragestellung.

Äquivalenzumformungen: auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren/subtrahieren oder mit derselben Zahl ≠ 0 multiplizieren/dividieren; bei Multiplikation mit negativer Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Binomische Formeln: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; (a + b)(a − b) = a² − b²; sie werden vorwärts zum Ausmultiplizieren und rückwärts zum Faktorisieren genutzt.

Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen: Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren; Lösung ist das Wertepaar (x | y), das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt.

Potenzgesetze: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ; a⁰ = 1 für a ≠ 0; a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Wurzelgesetze: √(a·b) = √a·√b und √(a/b) = √a/√b für a, b ≥ 0; √(a²) = |a|; Nenner rational machen durch Erweitern mit der Wurzel.

Prozent- und Zinsrechnung umstellen: p = (W/G)·100; G = W·100/p; bei vermehrtem/vermindertem Grundwert Faktor 1 + p/100 bzw. 1 − p/100 verwenden.

Proportionale Zuordnung: y = k·x, Quotient y/x ist konstant; antiproportionale Zuordnung: y = k/x, Produkt x·y ist konstant; Dreisatz entsprechend mit Division oder Multiplikation.

Ohne Hilfsmittel gefragt sind sichere Grundfertigkeiten: schriftliches Rechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen, Umformen einfacher Terme, Lösen linearer Gleichungen sowie Skizzieren von Geraden und Parabeln im Koordinatensystem.

Ergebnis prüfen durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung oder durch Plausibilitätskontrolle (Größenordnung, Einheit, Vorzeichen) – ein Widerspruch zeigt einen Rechenfehler an.

Koordinatensystem: Punkte als P(x | y) eintragen, x-Achse waagerecht, y-Achse senkrecht; Steigungsdreieck zwischen zwei Geradenpunkten liefert m = Δy/Δx mit Vorzeichen.

Funktionstyp aus Wertepaaren erkennen: konstante Differenzen der y-Werte deuten auf lineares Wachstum, konstante Quotienten auf exponentielles Wachstum, konstante zweite Differenzen auf quadratisches.

Sinus- und Kosinussatz im beliebigen Dreieck: a/sin α = b/sin β = c/sin γ; c² = a² + b² − 2ab·cos γ – nötig, wenn kein rechter Winkel vorliegt.

Zusammengesetzte Flächen und Körper in Teilfiguren zerlegen (Rechtecke, Dreiecke, Halbkreise), Teilinhalte berechnen und addieren bzw. bei Aussparungen subtrahieren.

Modellieren in Sachsituationen: gegebene Größen mit Einheiten notieren, benötigte Formel auswählen, Gleichung aufstellen, lösen und Ergebnis im Sachkontext deuten und begründen.

Diagramme kritisch lesen: Achseneinteilung und Skalierung prüfen, manipulierte Achsenabschnitte erkennen, zwischen absoluten und relativen Häufigkeiten unterscheiden.

Begründen mit Fachbegriffen: Definition, Satz und Voraussetzung nennen (z. B. „nach dem Satz des Pythagoras, weil der Winkel bei C 90° beträgt“), nicht nur das Ergebnis angeben.

Boxplot und Kenngrößen: Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil, Maximum; die Box enthält die mittleren 50 % der geordneten Daten.

Zeitmanagement in der Prüfung: hilfsmittelfreien Teil zuerst zügig bearbeiten, dann Pflicht- und Wahlaufgaben; Teilpunkte für Ansatz und Zwischenschritte werden auch bei fehlerhaftem Endergebnis vergeben.