Glücksspiel beim Schulfest: Erwartungswert, Fairness und Risiko
Beim Schulfest der Realschule betreibt die Klasse 9b ein Würfelspiel. Der Einsatz beträgt 1 € pro Spiel. Es wird mit zwei fairen, sechsseitigen Würfeln gewürfelt. Die Augensumme entscheidet: Bei einer Summe von 7 erhält der Spieler zusätzlich 3 €, bei einer Summe von 12 zusätzlich 5 €; bei allen anderen Summen geht der Einsatz verloren. Der Einsatz von 1 € ist in jedem Fall weg. Die Klasse möchte mit dem Spiel mindestens 50 € Gewinn bei 300 Spielen erzielen, ohne dass die Gewinnchancen zu unattraktiv wirken. Ein Mitschüler behauptet, das Spiel sei fair, weil man bei 7 oder 12 etwas gewinnen kann. Die Klasse überlegt, den Gewinn für die Summe 7 auf 4 € zu erhöhen und den Gewinn für 12 bei 5 € zu belassen. Der Kassenwart möchte außerdem wissen, wie stark das Ergebnis bei 300 Spielen um den Erwartungswert schwanken kann; auf eine exakte Berechnung der Standardabweichung wird verzichtet, aber eine qualitative Einschätzung wird erwartet.
1. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Augensummen 7 und 12 sowie den Erwartungswert der Auszahlung pro Spiel. Ermittle daraus den erwarteten Gewinn pro Spiel und bei 300 Spielen.
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Es gibt 36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. P(Summe 7) = 6/36 = 1/6 (Kombinationen 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1). P(Summe 12) = 1/36 (nur 6+6). Erwartete Auszahlung pro Spiel: E = 3 · 1/6 + 5 · 1/36 = 0,5 + 0,1389 = 0,6389 € ≈ 0,64 €. Erwarteter Gewinn pro Spiel = Einsatz − E = 1 − 0,6389 = 0,3611 €. Bei 300 Spielen: 300 · 0,3611 = 108,33 €.
2. Beurteile die Behauptung des Mitschülers, das Spiel sei fair. Erkläre, was „fair“ in diesem Zusammenhang bedeutet, und vergleiche mit dem berechneten Erwartungswert.
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Fair wäre das Spiel, wenn die erwartete Auszahlung genau dem Einsatz von 1 € entspräche, der Erwartungswert für den Spieler also 0 wäre. Hier ist E = 0,64 € < 1 €; der Veranstalter behält im Mittel 0,36 € pro Spiel. Das Spiel ist also nicht fair, sondern deutlich günstig für die Klasse. Dass man bei 7 oder 12 etwas gewinnen kann, ändert nichts an der Fairness; entscheidend sind die Wahrscheinlichkeiten und die Auszahlungshöhen.
3. Prüfe, ob die geplante Erhöhung des Gewinns für die Summe 7 auf 4 € die Bedingung „mindestens 50 € Gewinn bei 300 Spielen“ erfüllt. Berechne den neuen Erwartungswert und den erwarteten Gewinn. Beurteile zusätzlich qualitativ, warum der tatsächliche Gewinn bei 300 Spielen trotzdem unter 50 € liegen kann.
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Neuer Erwartungswert: E_neu = 4 · 1/6 + 5 · 1/36 = 0,6667 + 0,1389 = 0,8056 €. Gewinn pro Spiel: 1 − 0,8056 = 0,1944 €. Bei 300 Spielen: 300 · 0,1944 = 58,33 €. Die Bedingung „mindestens 50 €“ ist im Erwartungswert erfüllt. Qualitativ: Der tatsächliche Gewinn ist eine Zufallsgröße. Bei 300 Spielen kann die Anzahl der Gewinne unter dem Erwartungswert liegen, zum Beispiel wenn die Summe 7 seltener als etwa 50-mal fällt. Dann sinkt der Gewinn; bei vielen Gewinnen kann er über 58 € liegen. Die 50-€-Grenze ist daher nicht garantiert, sondern nur im Mittel erreicht. Für ein Schulfest ist das Risiko überschaubar, aber der Kassenwart sollte einen Puffer einplanen.