Algenblüte im Badesee: exponentielles Wachstum gegen lineares Modell
In einem Badesee breitet sich eine Algenart aus. Zu Beginn der Beobachtung (t = 0) bedecken die Algen eine Fläche von 4 m². Messungen zeigen, dass sich die bedeckte Fläche alle 3 Tage verdoppelt, solange der See nicht umkippt. Die für Badegäste freigegebene Wasserfläche ist 900 m² groß. Das Gesundheitsamt schließt den Badebetrieb, sobald die Algenfläche mehr als 20 % der freigegebenen Fläche bedeckt. Ein Praktikant schlägt ein lineares Modell vor: Danach wächst die Fläche täglich um 25 m², weil er die Zunahme zwischen zwei späteren Messungen verallgemeinert. Am Tag 6 messen die Schülerinnen und Schüler eine Algenfläche von 16 m². Der Badebetrieb soll möglichst lange offen bleiben, aber die Schließung darf nicht zu spät erfolgen. Die Gemeinde möchte wissen, ab welchem Tag mit einer Schließung zu rechnen ist und ob das lineare Modell als Entscheidungsgrundlage taugt.
1. Stelle eine Exponentialfunktion A(t) für die Algenfläche nach t Tagen auf und berechne die Fläche an den Tagen 6, 12 und 15.
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Verdopplung alle 3 Tage, Startwert 4 m²: A(t) = 4 · 2^(t/3). t = 6: A(6) = 4 · 2^2 = 16 m² (passt zur Messung). t = 12: A(12) = 4 · 2^4 = 64 m². t = 15: A(15) = 4 · 2^5 = 128 m².
2. Bestimme rechnerisch den Tag, an dem die Schließungsgrenze von 20 % der freigegebenen Fläche erstmals überschritten wird. Runde sinnvoll und interpretiere das Ergebnis.
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20 % von 900 m² = 180 m². Löse 4 · 2^(t/3) = 180. 2^(t/3) = 45. t/3 = log2(45) = ln(45)/ln(2) ≈ 5,4919. t ≈ 16,48 Tage. Probe: A(16) = 4 · 2^(16/3) ≈ 161,27 m²; A(17) = 4 · 2^(17/3) ≈ 203,18 m². Die Grenze wird also zwischen Tag 16 und Tag 17 überschritten, erstmals an Tag 17. Die Schließung sollte spätestens an Tag 17 erfolgen; an Tag 16 ist die Grenze noch nicht erreicht.
3. Prüfe, ob das lineare Modell mit 25 m² pro Tag zu den Messwerten am Tag 6 passt. Vergleiche beide Modelle für t = 6 und t = 12 und beurteile, welches Modell für die Entscheidung geeignet ist.
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Lineares Modell: A_lin(t) = 4 + 25t. t = 6: A_lin(6) = 4 + 150 = 154 m². Gemessen wurden 16 m². Das lineare Modell ist damit unbrauchbar; es überschätzt die Fläche um 138 m². t = 12: A_lin(12) = 4 + 300 = 304 m²; exponentiell 64 m². Das lineare Modell würde die Schließgrenze schon bei 4 + 25t = 180 → t = 7,04 Tagen prognostizieren, also etwa an Tag 8. Das widerspricht der Messung am Tag 6 und würde eine viel zu frühe Schließung bewirken. Das exponentielle Modell passt zur Messung (16 m² am Tag 6) und sollte für die Planung verwendet werden. Wegen Modellunsicherheit empfiehlt sich eine engmaschige Kontrolle, besonders ab Tag 12, und eine feste Schließungsentscheidung spätestens bei 180 m².