Enlace de arcos en una ménsula de forja: ¿tangencia interior o exterior?
En el taller de forja se va a ejecutar la ménsula de un rótulo comercial. El perfil está formado por dos circunferencias: C1, de centro O1 y radio 70 mm, y C2, de centro O2 y radio 30 mm, con O1O2 = 90 mm medido sobre la horizontal. El cliente exige que el remate sea «un arco de radio 60 que envuelva las dos circunferencias y las enlace sin pico», es decir, tangente interior a ambas. El aprendiz traza con el compás y los arcos no llegan a cortarse; en el programa de dibujo, la orden de desfase genera una curva que se cruza sobre sí misma y el archivo avisa de un contorno no válido. Además, la chapa rectangular que acompaña al rótulo debe tener una altura media proporcional entre 40 mm y 90 mm, y todo el conjunto se enviará al taller a escala 1:2 sobre una plantilla A4. El jefe de taller pide una solución construible y el despiece de los puntos de tangencia antes de cortar el hierro.
1. Comprueba si el arco de radio 60 mm puede ser tangente interior a C1 y a C2. Determina el radio mínimo que sí lo permitiría y explica por qué falla el trazado.
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Condición de tangencia interior. Si un arco de radio R envuelve a una circunferencia de radio r, su centro Ot debe cumplir OtO = R − r. Para que el arco exista, además, tiene que ser R > r.
- Con R = 60 mm y r1 = 70 mm:
R − r1 = −10 mm, un valor negativo. No existe ningún punto a esa distancia de O1: un arco de 60 mm no puede contener una circunferencia de 70 mm. El fallo ya está aquí, antes de llegar a C2. - Para C2:
R − r2 = 30 mm, perfectamente trazable.
El compás «no cierra» porque el lugar geométrico de O1 es vacío; el desfase del programa se cruza por la misma razón: al no haber solución, el contorno se autointersecta.
Radio mínimo. Con tangencia interior a las dos, los lugares geométricos son circunferencias de radios R − 70 y R − 30 centradas en O1 y O2. Para que se corten, la suma debe ser al menos la distancia entre centros:
(R − 70) + (R − 30) ≥ 90 → 2R − 100 ≥ 90 → R ≥ 95 mm
Con R = 95 mm los dos lugares son tangentes en un único punto situado sobre el segmento O1O2 (a 25 mm de O1 y 65 mm de O2): la solución límite existe, pero es un remate semicircular «plano», con los puntos de tangencia alineados. Cualquier R > 95 mm da dos centros simétricos válidos.
2. Propón una alternativa construible con el radio de 60 mm disponible y describe la construcción y los puntos de tangencia. Indica cómo se ve el problema a escala 1:2.
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Solución: tangencia exterior (contracurva). Renunciamos a envolver las circunferencias y enlazamos por fuera, lo que produce un enlace en S.
- Centro del arco de enlace:
OtO1 = R + r1 = 60 + 70 = 130 mmyOtO2 = R + r2 = 60 + 30 = 90 mm. Se comprueba el triángulo 90–130–90: es válido porque 130 < 90 + 90. Hay dos centros simétricos respecto de O1O2; se elige el que da el sentido correcto al perfil. - Puntos de tangencia: T1 sobre la recta OtO1, a 60 mm de Ot (y a 70 mm de O1); T2 sobre OtO2, a 60 mm de Ot (y a 30 mm de O2). En tangencia exterior los centros y el punto de tangencia están alineados con Ot entre O1 y T1.
- Se traza el arco entre T1 y T2 y se comprueba con plantilla que no hay pico: las tangentes en T1 y T2 coinciden con las de C1 y C2.
Consecuencia contractual: la pieza cambia de aspecto (ya no envuelve), así que debe aprobarlo el cliente; la alternativa técnica es subir el radio a 95 mm o más.
A escala 1:2 los datos de trazado son r1 = 35, r2 = 15, R = 30 y d = 45 mm. Salta a la vista el problema: el radio de enlace (30) es menor que el de la circunferencia mayor (35), luego el arco no puede contenerla. La imposibilidad se detecta en la propia plantilla sin hacer ningún cálculo.
3. Calcula la altura de la chapa y explica la construcción gráfica de la media proporcional, dando el valor a escala 1:2.
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Cálculo: la altura h es media proporcional entre 40 y 90 mm:
h² = 40 · 90 = 3600 → h = 60 mm
Construcción (teorema de la altura):
- Se dibuja un segmento de longitud
40 + 90 = 130 mm. - Se traza la semicircunferencia de diámetro ese segmento (radio 65 mm).
- En el punto que divide el segmento en 40 y 90 mm se levanta la perpendicular.
- El segmento desde ese punto hasta la semicircunferencia mide exactamente h = 60 mm, porque en un triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.
A escala 1:2: h = 30 mm sobre el papel; el segmento base mide 65 mm y los tramos 20 y 45 mm. Conviene comprobar con el teorema del cateto: cateto² = 40 · 130 = 5200 → 72,1 mm, coherente con el triángulo 60–72,1–90.
Advertencia de taller: la media proporcional solo es válida para valores positivos y se confunde a menudo con la media geométrica de tres términos (media y extremo); si el brief pidiera «tercera proporcional», la construcción sería otra y el resultado, 202,5 mm.