Marquesina plegada: forma verdadera, ángulo con el horizontal y comprobación del puntal
Para la vitrina de una exposición se proyecta una marquesina de chapa plegada. La cara superior queda definida por tres puntos medidos en milímetros sobre un sistema diédrico con el eje X paralelo a la línea de tierra, el eje Y en alejamiento y el eje Z en cota: A (0, 0, 0), B (80, 0, 0) y C (0, 50, 40). La arista AB es paralela a la línea de tierra. El montador necesita la forma verdadera de la chapa, el ángulo que forma con el plano horizontal y la posición del puntal de acero, que arranca en P (40, 25, 60) y debe ser perpendicular a la chapa, con el apoyo dentro del triángulo ABC. En el taller avisan de que, con esas cotas, el puntal «no toca la chapa». El despiece se dibuja a escala 1:2 en un A3 con zona útil de 400 × 277 mm, por lo que la elección del método de abatimiento condiciona que todo quepa y se lea.
1. Obtén la forma verdadera del triángulo ABC, su superficie y el ángulo que el plano forma con el plano horizontal.
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Lados en verdadera magnitud (se calculan con la distancia espacial, no midiendo la proyección):
- AB:
√(80²) = 80,00 mm(está en el plano horizontal, y = 0, z = 0). - AC:
√(50² + 40²) = √4100 = 64,03 mm. - BC:
√(80² + 50² + 40²) = √10500 = 102,47 mm.
Comprobación de ángulo recto en A: 80² + 64,03² = 6400 + 4100 = 10500 = BC². El triángulo es rectángulo en A, con catetos AB y AC.
Superficie: S = (80 · 64,03) / 2 = 2561 mm² ≈ 25,6 cm².
Ángulo con el plano horizontal. La recta AB es horizontal (paralela a la línea de tierra), luego es la traza horizontal del plano y su perpendicular en el plano es la recta de máxima pendiente, que en este caso es AC. El ángulo diedro se mide en un plano perpendicular a la traza, es decir, en el plano que contiene a AC y su proyección:
tg α = cota / alejamiento = 40 / 50 = 0,80 → α = 38,66°
Error típico que hay que evitar: medir 80 mm sobre la proyección horizontal de BC o tomar AC directamente en el plano vertical, donde aparece como 40 mm. Solo AB es paralela al plano de proyección y por eso es la única que se ve en verdadera magnitud sin abatir.
2. Comprueba si el puntal que arranca en P (40, 25, 60) y es perpendicular a la chapa apoya dentro del triángulo y, si no lo hace, propón dos correcciones.
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Ecuación del plano. Con AB = (80, 0, 0) y AC = (0, 50, 40), la normal es n = AB × AC = (0, −3200, 4000), que simplificada da la dirección (0, −4, 5). El plano pasa por el origen: −4y + 5z = 0.
Distancia de P al plano:
d = |−4·25 + 5·60| / √41 = 200 / 6,403 = 31,23 mm
Pie del puntal:
P' = P − (200/41)·(0, −4, 5) = (40, 25 + 19,51, 60 − 24,39) = (40, 44,51, 35,61)
¿Está dentro del triángulo? En planta el triángulo cumple x ≥ 0, y ≥ 0 y y ≤ 50 − (50/80)·x. Para x = 40 el límite es y = 25, y el pie tiene y = 44,51: queda fuera, 19,5 mm por detrás del borde BC. El montador tiene razón.
Correcciones posibles:
- Retrasar el anclaje en alejamiento: como el pie siempre suma 19,51 mm en y, se necesita
yP + 19,51 ≤ 50 − 0,625·xP. Con xP = 40 hay que bajar ayP ≤ 5,5 mm, es decir, anclar casi sobre la arista AB. Poco práctico. - Llevar el anclaje al borde x = 0, donde el límite es y = 50: con
yP ≤ 30,5 mmel pie cae dentro. Es la solución de taller más razonable. - Si el anclaje no puede moverse, el puntal deja de ser perpendicular: se resuelve como recta que pasa por P y por un punto elegido dentro del triángulo, y se acota el ángulo real.
3. Compara el abatimiento sobre la traza horizontal con un cambio de plano vertical y decide cuál conviene aquí, indicando los errores de trazado más frecuentes.
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Abatimiento sobre AB (traza horizontal). AB es paralela a la línea de tierra, así que en el papel coincide con ella. Se abate el plano alrededor de AB llevando C a su verdadera posición: se traza por la proyección horizontal de C una perpendicular a AB y se marca sobre ella la cota (40 mm) medida con el compás desde la charnela. El triángulo abatido sale directamente en verdadera magnitud.
Cambio de plano. Se elige un nuevo plano vertical perpendicular a AB; el plano ABC se convierte en proyectante vertical y en la nueva proyección se ven de golpe la recta de máxima pendiente y el ángulo α = 38,66°, además de las longitudes medidas sobre esa dirección.
Decisión: para la forma verdadera es más rápido el abatimiento (una sola operación); para comunicar el ángulo al montador, el cambio de plano es más claro porque el ángulo aparece sin construir la pendiente.
Errores frecuentes:
- Abatir tomando como cateto la proyección horizontal de AC (50 mm) en lugar de la cota, con lo que la hipotenusa sale 64 mm pero el triángulo queda mal orientado.
- Medir la cota desde la línea de tierra y no desde la charnela AB, que en este caso coincide con ella, lo que oculta el error hasta que se cambia de ejemplo.
- A escala 1:2, el triángulo abatido mide 40 × 32 mm y la altura del conjunto no debe superar los 277 mm útiles; conviene situar la charnela cerca del margen inferior y reservar el espacio de la acotación.