Levantamiento de un torreón octogonal: proporción y corrección de la fotografía
Un equipo de estudiantes levanta un torreón mudéjar de ladrillo con planta octogonal en la provincia de Teruel para un trabajo de análisis del patrimonio construido. Sobre el terreno solo pueden medir con cinta el lado exterior del octógono, 3,10 m, y la altura de la puerta, 2,20 m. La altura total la obtienen de una fotografía tomada con un objetivo de 28 mm desde 12 m y a 1,60 m del suelo, con la cámara inclinada hacia arriba para que entre el remate. En la copia impresa, el lado del octógono mide 48 mm y la altura total 340 mm, de donde deducen 340/48 = 7,08 lados de altura. Con ese dato quieren demostrar que la torre sigue una proporción basada en la diagonal del cuadrado (√2) y encajar el alzado en un A3 a escala 1:100. El profesor advierte que la foto no es un alzado y que la conclusión puede ser falsa.
1. Calcula el radio de la circunferencia circunscrita, la apotema y la superficie del octógono a partir del lado medido. ¿Qué datos del levantamiento son fiables y cuáles no?
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Geometría del octógono regular de lado s = 3,10 m, inscrito en una circunferencia de radio R:
s = R · √(2 − √2) = 0,76537 · R→R = 3,10 / 0,76537 = 4,05 m- Apotema:
a = R · cos 22,5° = 4,05 · 0,92388 = 3,74 m; comprobación por la otra vía:a = s / (2 · tg 22,5°) = 3,10 / 0,82843 = 3,74 m✓ - Superficie:
S = (perímetro · apotema) / 2 = (8 · 3,10 · 3,74) / 2 = 46,4 m²
De ahí se obtiene también el lado del cuadrado circunscrito: 2R = 8,10 m.
Fiabilidad de los datos:
- El lado de 3,10 m es fiable si se ha medido en varias caras y la dispersión es pequeña (±1 cm); si no, no se puede afirmar que la planta sea regular.
- La altura de la puerta (2,20 m) sirve como referencia vertical, pero solo en el entorno de la base.
- Cualquier magnitud tomada de la fotografía (los 340 mm de altura) no es un dato métrico: es una medida de imagen. La escala 48 mm ↔ 3,10 m da 1:64,6, pero solo es válida en el plano de la fachada a la altura del zócalo.
2. ¿Por qué no vale multiplicar los 340 mm por la escala obtenida del lado? Cuantifica el error y propón un método correcto de medida.
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Por qué falla: con la cámara inclinada hacia arriba, las verticales convergen y la escala vertical deja de ser constante. La escala de la imagen de un elemento varía aproximadamente como 1/distancia al objetivo:
- Base de la torre: a unos 12,1 m del objetivo.
- Remate, a unos 20 m sobre la cámara:
√(12² + 20²) ≈ 23,3 m.
Es decir, la parte alta se dibuja con una escala del orden de la mitad que la parte baja. El cociente 340/48 = 7,08 está comprimido en altura: la torre real es proporcionalmente más esbelta de lo que sugiere la foto. Aplicar la escala del zócalo a toda la altura (340 · 64,6 ≈ 22 m) da una cota que hay que tratar como mínima, no como medida.
Métodos correctos:
- Rectificación de la imagen mediante homografía con cuatro puntos de un plano conocido (por ejemplo, un paramento cuya altura de planta baja se haya medido), o reconstrucción a partir de los puntos de fuga y de la línea de horizonte.
- Triangulación en obra: con un clinómetro,
h = 1,60 + D · tg α, midiendo la distancia horizontal D al eje del torreón (unos 12 m) y el ángulo α al remate y a la base. Conviene repetir desde dos estaciones para detectar el error de puntería. - Control cruzado: usar la apotema (3,74 m) o la diagonal (8,10 m) como referencia horizontal y comprobar que la relación alto/ancho es estable en varias fotografías.
Sin rectificación previa, ninguna proporción obtenida de la foto es defendible en un trabajo académico.
3. Analiza la hipótesis proporcional y decide qué documentación gráfica entregar.
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Contraste de la hipótesis √2. El factor √2 aparece de forma natural en la planta: la diagonal del cuadrado circunscrito mide 3,10 · √2 = 4,38 m, que es el diámetro de la circunferencia circunscrita (2R = 8,10 m, es decir, el lado del cuadrado que la contiene). En alzado no hay ninguna razón geométrica para que la altura sea múltiplo de √2; las proporciones de torres mudéjares se han descrito tradicionalmente con módulos enteros o semienteros referidos al lado o a la apotema del octógono.
Con la altura rectificada H, lo comprobable es:
H / s,H / ayH / R: si alguno se aproxima a un valor simple (n o n + 1/2) dentro de la tolerancia de medida (±2 %), hay una hipótesis defendible.- Un cociente como 7,08 no es un módulo: es el resultado de una imagen deformada y no se sostiene.
Entrega recomendada:
- Planta del octógono a escala 1:50, con la construcción del octógono regular inscrito en el cuadrado (divisiones a 45° desde el centro), acotada con el lado y la apotema.
- Alzado a 1:100: si H ≈ 31,5 m, mide 315 mm y no cabe en los 277 mm útiles del A3; se pasa a 1:125 (252 mm) o a 1:150, y se añade escala gráfica.
- Escala gráfica y leyenda con el método de toma de datos, más una lámina aparte con la fotografía rectificada y el margen de error declarado.
La conclusión honesta es que la proporción √2 pertenece a la planta, no al alzado, y que la altura solo puede afirmarse tras la rectificación.