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Question 1Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En la construcción de la media proporcional (media geométrica) entre dos segmentos a y b mediante el semicírculo de diámetro a+b, ¿qué relación se cumple entre la altura h trazada sobre la hipotenusa y los catetos de los triángulos rectángulos formados?

  1. h = a·b, es decir, h es el producto directo
  2. h² = a² + b², es decir, h es la hipotenusa del triángulo
  3. h = (a+b)/2, es decir, h es la media aritmética
  4. h² = a·b, es decir, h es la media proporcional de los dos segmentos Correct answer.

Explanation

En el triángulo rectángulo inscrito en un semicírculo, la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en que divide a esta, por el teorema de la altura: h² = a·b. Por tanto h = √(a·b).

Question 2Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Al dividir un segmento AB en partes proporcionales a tres valores dados mediante el método del haz de rectas paralelas, ¿por qué se traza una recta auxiliar desde A y se marcan sobre ella longitudes iguales o proporcionales?

  1. Para medir directamente el segmento AB con el escalímetro
  2. Para hallar el arco capaz de 90° sobre AB
  3. Para construir la mediatriz de AB
  4. Para obtener puntos que, unidos a B y trasladados por paralelas, dividan AB en la proporción pedida Correct answer.

Explanation

El teorema de Tales garantiza que un haz de rectas paralelas corta a dos transversales en segmentos proporcionales. Por eso se marcan las unidades sobre una auxiliar y se trazan paralelas hacia AB.

Question 3Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Dos figuras son semejantes con razón de semejanza k = 3. ¿Cuál es la relación entre sus áreas?

  1. Las áreas son iguales porque la forma no cambia
  2. Las áreas están en razón k = 3
  3. Las áreas están en razón k³ = 27
  4. Las áreas están en razón k² = 9 Correct answer.

Explanation

En figuras semejantes las longitudes están en razón k, pero las áreas lo están en razón k². Con k = 3, la figura mayor tiene 9 veces el área de la menor.

Question 4Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Se quiere construir un triángulo semejante a otro dado con razón de semejanza 2/5 aplicando homotecia. ¿Qué condición debe cumplir el centro de homotecia?

  1. Debe situarse sobre uno de los lados del triángulo
  2. Debe coincidir obligatoriamente con el baricentro del triángulo
  3. Debe estar en el interior del triángulo para que la razón sea menor que 1
  4. Puede ser cualquier punto del plano; las rectas que unen puntos homólogos pasan por él Correct answer.

Explanation

En una homotecia de centro O, cada punto y su homólogo están alineados con O, y la razón se aplica a las distancias desde O. El centro es arbitrario y la razón 2/5 produce una figura menor.

Question 5Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En una tangencia entre una recta y una circunferencia, ¿qué propiedad geométrica se cumple en el punto de tangencia?

  1. El radio forma 45° con la recta tangente
  2. El radio mide la mitad de la distancia del centro a la recta
  3. La recta tangente pasa por el centro de la circunferencia
  4. El radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta Correct answer.

Explanation

La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto. Esta propiedad es la base de todas las construcciones de tangencias entre rectas y circunferencias.

Question 6Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Para trazar las rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P, ¿qué construcción auxiliar se emplea habitualmente?

  1. La circunferencia de diámetro OP, que corta a la dada en los puntos de tangencia Correct answer.
  2. La mediatriz del radio mayor de la circunferencia dada
  3. El arco capaz de 60° sobre el diámetro de la circunferencia
  4. La bisectriz del ángulo formado por dos radios cualesquiera

Explanation

Los puntos de tangencia cumplen que el ángulo OTP es recto, por lo que están en la circunferencia de diámetro OP (arco capaz de 90°). Su intersección con la circunferencia dada da los puntos de tangencia.

Question 7Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Se desea enlazar dos rectas que forman un ángulo con un arco de radio r conocido. ¿Qué punto es el centro del arco de enlace?

  1. La intersección de las paralelas a ambas rectas trazadas a distancia r hacia el interior del ángulo Correct answer.
  2. El vértice del ángulo formado por las dos rectas
  3. La intersección de las bisectrices exteriores del ángulo
  4. El punto medio del segmento que une los pies de las perpendiculares

Explanation

El centro del arco debe equidistar r de ambas rectas, por lo que se sitúa en la paralela a cada recta a distancia r. Su intersección es el centro del enlace, y los pies de las perpendiculares son los puntos de tangencia.

Question 8Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

¿Cuál es la diferencia esencial entre un enlace y una tangencia en un trazado?

  1. La tangencia siempre se realiza entre dos circunferencias y el enlace entre dos rectas
  2. El enlace exige que los elementos sean de igual radio
  3. La tangencia solo existe entre recta y circunferencia
  4. El enlace une dos elementos mediante un arco que es tangente a ambos en sus extremos, sin vértices angulosos Correct answer.

Explanation

El enlace es un caso de tangencia aplicado a unir dos elementos cualesquiera (rectas, arcos o circunferencias) mediante un arco intermedio tangente a ambos. La transición resulta suave, sin puntos angulosos.

Question 9Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En una elipse, ¿cómo se denomina la recta que pasa por un foco y es perpendicular al eje mayor, y qué longitud tiene el segmento de esa recta comprendido en la elipse?

  1. Es el eje menor y su longitud es 2b
  2. Es la recta del lado recto y su longitud es 2b²/a Correct answer.
  3. Es la tangente en el vértice y su longitud es a
  4. Es la directriz y su longitud es 2a

Explanation

El lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por el foco. Su longitud vale 2b²/a, donde a es el semieje mayor y b el semieje menor.

Question 10Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Para dibujar una elipse por el método de los puntos (o de las circunferencias afines), ¿qué relación se utiliza entre los puntos de la circunferencia y los de la elipse?

  1. Cada punto de la elipse es la proyección ortogonal, según el eje menor, del punto correspondiente de la circunferencia de diámetro el eje mayor Correct answer.
  2. Cada punto de la elipse se obtiene girando 45° el punto de la circunferencia
  3. La elipse es la intersección de dos circunferencias concéntricas
  4. Los puntos de la elipse son los puntos medios entre la circunferencia y el eje mayor

Explanation

La elipse es una afinidad de la circunferencia: se traza la circunferencia de diámetro el eje mayor y se proyectan sus puntos ortogonalmente al eje menor según la relación b/a. Así se generan los puntos de la elipse.

Question 11Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En una parábola, ¿qué propiedad define a todos sus puntos respecto a la directriz y al foco?

  1. La suma de distancias al foco y a la directriz es constante
  2. La distancia de cada punto al foco es igual a su distancia a la directriz Correct answer.
  3. La diferencia de distancias al foco y a la directriz es constante
  4. La distancia al foco es el doble de la distancia a la directriz

Explanation

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del foco y de la directriz. Esta igualdad de distancias es su definición métrica y la base de su trazado por puntos.

Question 12Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En una hipérbola, ¿qué relación se cumple entre la distancia focal 2c y los semiejes a y b?

  1. c² = a² + b² Correct answer.
  2. c² = a² − b²
  3. c² = a·b
  4. c = a + b

Explanation

En la hipérbola la distancia del centro a cada foco cumple c² = a² + b², igual que en la elipse pero con el eje real a y el imaginario b. La diferencia con la elipse es la posición de los focos respecto a los vértices.

Question 13Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Al trazar una espiral de Arquímedes, ¿qué característica define su generación?

  1. El radio vector crece proporcionalmente al ángulo girado Correct answer.
  2. El radio vector disminuye al aumentar el ángulo
  3. El radio es constante y solo gira el punto
  4. El radio vector crece según una progresión geométrica con el ángulo

Explanation

En la espiral de Arquímedes la distancia al polo es proporcional al ángulo recorrido (r = k·θ). Por eso los pasos entre espiras consecutivas son iguales a lo largo de un mismo radio.

Question 14Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En la construcción de un óvalo isométrico (óvalo de cuatro centros) a partir de un cuadrado, ¿cuántos centros y qué tipo de arcos se emplean?

  1. Cuatro centros: dos arcos mayores con centros en vértices opuestos y dos arcos menores con centros en el interior Correct answer.
  2. Un solo centro: una circunferencia deformada
  3. Dos centros: dos semicircunferencias unidas por rectas
  4. Tres centros: un arco mayor y dos menores

Explanation

El óvalo isométrico se construye con cuatro centros situados sobre las diagonales del cuadrado de referencia. Dos arcos de mayor radio enlazan los arcos menores, dando una curva cerrada de aspecto elíptico pero formada por arcos de circunferencia.

Question 15Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Una recta es tangente a una circunferencia en un punto T. Si el radio mide 5 cm y la distancia del centro a la recta es d, ¿qué valor debe tener d?

  1. d = 0 cm
  2. d = 5 cm Correct answer.
  3. d = 10 cm
  4. d = 2,5 cm

Explanation

La distancia del centro a una recta tangente es exactamente igual al radio. Con radio de 5 cm, la distancia d debe ser 5 cm para que la recta toque en un único punto.

Question 16Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En el método general de tangencias (reducción de circunferencias), para trazar una recta tangente a dos circunferencias dadas de distinto radio, ¿qué operación se realiza?

  1. Se calcula el baricentro del triángulo formado por los centros y el punto de tangencia
  2. Se traza la mediatriz del segmento que une los centros
  3. Se igualan los radios de ambas circunferencias mediante una homotecia de razón 1
  4. Se reduce una circunferencia al radio diferencia o suma y se traza la tangente desde el centro de la otra Correct answer.

Explanation

El método de reducción sustituye una circunferencia por otra concéntrica de radio igual a la diferencia (tangentes exteriores) o suma (interiores) de radios. Se traza la tangente desde el centro de la otra y se traslada el resultado.

Question 17Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Al dividir un segmento en media y extrema razón (sección áurea), si el segmento total mide 1, ¿qué valor tiene la parte mayor?

  1. √2/2 ≈ 0,707
  2. (√5 − 1)/2 ≈ 0,618 Correct answer.
  3. (√5 + 1)/2 ≈ 1,618
  4. 1/2 = 0,5

Explanation

La sección áurea exige que el total sea a la parte mayor como esta es a la menor. Con total 1, la parte mayor vale (√5 − 1)/2 ≈ 0,618, el número inverso de la razón áurea.

Question 18Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En el trazado de una elipse por el método del jardinero (con hilo y dos focos), ¿qué condición debe cumplirse?

  1. La diferencia de las distancias a los focos es constante e igual a 2a
  2. El producto de las distancias a los focos es constante
  3. La distancia a cada foco es siempre igual al semieje menor
  4. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos es constante e igual a 2a Correct answer.

Explanation

La definición métrica de la elipse establece que la suma de distancias a los dos focos es constante e igual al eje mayor 2a. El método del jardinero tensa un hilo de longitud 2a fijado en ambos focos.

Question 19Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

¿Qué construcción permite obtener la recta tangente a una elipse en un punto P de la curva?

  1. La mediatriz del segmento entre los dos focos
  2. La perpendicular al eje mayor por P
  3. La bisectriz exterior del ángulo formado por los radios vectores desde P a los focos Correct answer.
  4. La recta que une P con el centro de la elipse

Explanation

En la elipse la tangente en un punto es la bisectriz exterior del ángulo que forman los radios vectores que llegan a ese punto desde los focos. La normal es la bisectriz interior.

Question 20Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En una tangencia entre dos circunferencias exteriores, ¿qué relación se cumple entre la distancia entre centros d y los radios r y R?

  1. d < R − r
  2. d > R + r
  3. d = R − r
  4. d = R + r Correct answer.

Explanation

Cuando dos circunferencias son tangentes exteriores, la distancia entre sus centros es la suma de los radios, pues el punto de tangencia está en la línea de centros.

Question 21Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En la construcción de un óvalo dado el eje mayor, ¿cómo se determinan los centros de los arcos menores?

  1. Hallando la mediatriz del eje mayor y dividiéndola en tres partes iguales
  2. Trazando las diagonales del rectángulo circunscrito y usando su intersección como centro
  3. Uniendo los focos de la elipse correspondiente y tomando su punto medio
  4. Trazando la circunferencia de diámetro el eje mayor y rectas desde sus extremos a un punto del eje menor, cuyas intersecciones con la línea de centros dan los centros Correct answer.

Explanation

El óvalo dado el eje mayor se construye apoyándose en la circunferencia de diámetro ese eje. Las rectas trazadas desde los extremos del eje a un punto del eje menor cortan a la línea de centros en los centros de los arcos menores.

Question 22Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En un enlace de dos circunferencias de radios distintos mediante un arco de radio conocido R, ¿qué condición debe cumplir el centro del arco de enlace?

  1. Debe estar sobre la recta que une los centros
  2. Debe situarse en el interior de la circunferencia menor
  3. Debe coincidir con el punto medio entre los dos centros
  4. Debe equidistar (R ± r) de los centros de las circunferencias, según sea el enlace exterior o interior Correct answer.

Explanation

El centro del arco de enlace se encuentra en la intersección de dos circunferencias auxiliares concéntricas con las dadas, de radios R + r (enlace exterior) o R − r (interior). Así el arco es tangente a ambas.

Question 23Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

¿Qué propiedad comparten la elipse, la parábola y la hipérbola que justifica su nombre de cónicas?

  1. Tienen dos focos y dos directrices siempre
  2. Se obtienen como intersección de un cono de revolución con un plano Correct answer.
  3. Se generan por el giro de una recta alrededor de un eje
  4. Su excentricidad es siempre mayor que 1

Explanation

Las tres curvas resultan de cortar un cono de revolución con un plano: elipse si corta a todas las generatrices, parábola si es paralelo a una, hipérbola si corta a las dos hojas.

Question 24Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En una construcción de proporcionalidad, se dan tres segmentos a, b y c y se pide hallar el cuarto proporcional x tal que a/b = c/x. ¿Qué método gráfico se emplea?

  1. Trazar la bisectriz del ángulo formado por a y b y prolongarla hasta cortar a c
  2. Trazar dos semirrectas desde un vértice, marcar a y b en una y c en la otra, y trazar por el extremo de b una paralela a la recta que une los extremos de a y c Correct answer.
  3. Aplicar una homotecia de razón a/b al segmento c desde un centro arbitrario
  4. Construir la media geométrica de a y b y sumarle c

Explanation

El cuarto proporcional se obtiene por el teorema de Tales: dos semirrectas con segmentos a, b y c, y una paralela que cierra la proporción. La intersección da la longitud x buscada.

Question 25Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En la construcción de la espiral logarítmica, ¿qué propiedad la distingue de la espiral de Arquímedes?

  1. Los radios vectores de puntos separados por un mismo ángulo forman una progresión geométrica Correct answer.
  2. Los radios vectores forman una progresión aritmética con el ángulo
  3. La curva se cierra sobre sí misma tras una vuelta completa
  4. El radio vector es constante en toda la curva

Explanation

En la espiral logarítmica el radio crece en progresión geométrica al girar ángulos iguales, de modo que la curva se aleja cada vez más rápido del polo. La de Arquímedes crece en progresión aritmética.

Question 26Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En una homotecia de centro O y razón k = 3/2 aplicada a una figura plana, ¿qué relación existe entre un segmento AB de la figura original y su homólogo A'B'?

  1. A'B' = (9/4)·AB porque la razón se eleva al cuadrado en los segmentos.
  2. A'B' = (2/3)·AB y ambos segmentos son perpendiculares entre sí.
  3. A'B' = (3/2)·AB y ambos segmentos son paralelos entre sí. Correct answer.
  4. A'B' = (3/2)·AB pero los segmentos forman un ángulo igual al de los radios OA y OB.

Explanation

En toda homotecia los segmentos homólogos son paralelos y su longitud queda multiplicada por el valor absoluto de la razón k. Por tanto, con k = 3/2 el segmento imagen mide 3/2 del original y conserva la dirección. El ángulo entre segmentos homólogos es siempre nulo, no depende de los radios.

Question 27Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Se quiere hallar gráficamente el tercero proporcional x de dos segmentos dados a y b, de modo que a/b = b/x. ¿Qué construcción es la correcta?

  1. Dividir el segmento a en b partes iguales con el teorema de Tales y tomar una de esas partes como x.
  2. Construir un triángulo rectángulo cuyos catetos sean a y b y tomar la hipotenusa como tercero proporcional.
  3. Trazar dos semirrectas desde un vértice común, llevar a y b sobre una y b sobre la otra, y cerrar con una paralela por el punto conveniente. Correct answer.
  4. Trazar la circunferencia de diámetro a y tomar como x la cuerda determinada por b.

Explanation

El tercero proporcional se obtiene aplicando el teorema de Tales sobre dos semirrectas concurrentes: se transportan a y b en una y b en la otra y se traza la paralela que cierra la proporción. Así resulta x = b²/a, que es exactamente la condición a/b = b/x. La construcción es una variante directa de la cuarta proporcional con un término repetido.

Question 28Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Al aplicar el teorema de Tales para dividir un segmento AB en siete partes iguales, ¿cuál es la secuencia de pasos correcta?

  1. Construir la circunferencia de diámetro AB y dividirla en siete arcos iguales con el transportador de ángulos.
  2. Trazar por A una semirrecta auxiliar, llevar siete segmentos iguales con el compás, unir el último con B y trazar paralelas a esa unión por las divisiones. Correct answer.
  3. Trazar la mediatriz de AB, dividirla en siete partes y proyectar cada división perpendicularmente sobre AB.
  4. Aplicar la sección áurea sucesivamente a AB hasta obtener siete segmentos decrecientes.

Explanation

El teorema de Tales exige dos rectas concurrentes cortadas por paralelas: se lleva la medida arbitraria repetida sobre la semirrecta auxiliar y se cierra con la paralela al segmento que une la última división con B. Las paralelas trasladan la proporción y dividen AB en partes iguales. No se necesita medir ángulos ni calcular longitudes.

Question 29Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Dos circunferencias de radios r = 2 cm y r' = 5 cm son tangentes interiores. ¿Cuál es la distancia d entre sus centros y qué posición relativa presentan?

  1. d = 5 cm, con la circunferencia menor pasando por el centro de la mayor.
  2. d = 3 cm, con la circunferencia menor contenida en la mayor y un único punto de contacto. Correct answer.
  3. d = 3 cm, con las circunferencias secantes en dos puntos.
  4. d = 7 cm, con las circunferencias exteriores la una a la otra.

Explanation

En la tangencia interior la distancia entre centros es la diferencia de los radios, d = |r' − r| = 3 cm, y existe un solo punto común situado sobre la recta de centros. La circunferencia menor queda contenida en la mayor sin cortarla. Si d fuera mayor que la diferencia, las circunferencias serían secantes o exteriores.

Question 30Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Se desea trazar un arco de enlace de radio R que sea tangente a una recta y a una circunferencia dadas, quedando el arco en el exterior de la circunferencia. ¿Dónde se sitúa su centro?

  1. En la perpendicular a la recta por el centro de la circunferencia y en la propia circunferencia dada.
  2. En la bisectriz del ángulo que forma la recta con el radio de la circunferencia en su punto más próximo.
  3. En la recta paralela a la dada a distancia R y en la circunferencia concéntrica de radio r + R. Correct answer.
  4. En la recta paralela a la dada a distancia R y en la circunferencia concéntrica de radio r − R.

Explanation

El centro del arco debe equidistar R de la recta y de la circunferencia. La primera condición da una paralela a distancia R; la segunda, al ser tangencia exterior, una circunferencia concéntrica de radio r + R. La intersección de ambos lugares geométricos es el centro buscado.

Question 31Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En una elipse de semieje mayor a = 5 cm y semieje menor b = 3 cm, ¿cuánto vale la semidistancia focal c y qué excentricidad tiene la curva?

  1. c = 4 cm y excentricidad e = 0,8. Correct answer.
  2. c = √34 cm y excentricidad e = 0,6.
  3. c = 4 cm y excentricidad e = 0,6.
  4. c = 2 cm y excentricidad e = 0,4.

Explanation

En la elipse se cumple a² = b² + c², de donde c = √(25 − 9) = 4 cm. La excentricidad es e = c/a = 4/5 = 0,8, valor que mide el grado de achatamiento respecto a la circunferencia.

Question 32Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Para trazar la recta tangente a una parábola en un punto P de la curva, ¿qué construcción es válida?

  1. Trazar por P una recta paralela a la directriz.
  2. Unir P con el vértice de la parábola y prolongar esa recta.
  3. Trazar la bisectriz del ángulo formado por el radio focal PF y la paralela al eje por P, siendo la tangente perpendicular a esa bisectriz. Correct answer.
  4. Unir P con el punto medio del segmento que une el foco y la directriz.

Explanation

La tangente en P es la bisectriz exterior del ángulo entre el radio focal PF y la paralela al eje por P, propiedad que se deduce de la reflexión de los rayos. Equivale a decir que la tangente es perpendicular a la bisectriz interior de ese ángulo. Esta construcción es la base de las tangentes a cónicas por procedimientos geométricos.

Question 33Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Una hipérbola tiene semieje real a = 3 cm y semieje imaginario b = 4 cm. ¿Cuál es la semidistancia focal c y la pendiente de sus asíntotas?

  1. c = 7 cm y pendiente ±1.
  2. c = 5 cm y pendiente ±4/3. Correct answer.
  3. c = 5 cm y pendiente ±3/4.
  4. c = √7 cm y pendiente ±4/3.

Explanation

En la hipérbola la relación es c² = a² + b², luego c = √(9 + 16) = 5 cm. Las asíntotas pasan por el centro con pendiente ±b/a = ±4/3, de modo que el rectángulo fundamental tiene lados 2a y 2b.

Question 34Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En el método de los puntos para dibujar una elipse conociendo los ejes, ¿cómo se obtiene cada punto de la curva a partir de una recta auxiliar?

  1. Se divide el eje mayor en partes iguales y se levantan perpendiculares que cortan directamente a la elipse.
  2. Se trazan radios desde un foco y se cortan con la circunferencia principal.
  3. Se une cada punto del eje mayor con los dos focos y se toma la bisectriz.
  4. Se traza una recta arbitraria por un extremo del eje menor y se trasladan ordenadas desde la circunferencia de diámetro el eje mayor y desde la de diámetro el eje menor. Correct answer.

Explanation

El método de afinidad utiliza dos circunferencias auxiliares de diámetros iguales a los ejes: una recta por el extremo del eje menor corta a ambas y las ordenadas correspondientes se trasladan para obtener el punto de la elipse. La elipse es afín a la circunferencia mayor con razón b/a.

Question 35Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En una espiral de dos centros, ¿cómo se generan los arcos sucesivos?

  1. Con arcos de radio constante trazados desde un único centro que se desplaza.
  2. Con arcos concéntricos de radios que aumentan una cantidad fija en cada vuelta.
  3. Con arcos de circunferencia alternados desde dos centros fijos, tomando como radio la distancia al punto final del arco anterior. Correct answer.
  4. Con semicircunferencias de radio creciente en progresión geométrica desde dos centros que se alejan.

Explanation

La espiral de dos centros es una curva formada por semicircunferencias o arcos alternos trazados desde dos centros fijos. Cada nuevo radio es la distancia desde el centro que actúa hasta el extremo del arco previo, de modo que el radio crece de forma aritmética controlada. Es la base de las volutas clásicas.

Question 36Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Dado el eje mayor de un óvalo, ¿cómo se determinan los centros de los arcos menores en la construcción clásica de cuatro centros?

  1. Se toma como centros menores los extremos del eje mayor.
  2. Se dividen los radios de las circunferencias auxiliares y se trazan rectas que, al cortarse con el eje menor, fijan los centros menores. Correct answer.
  3. Se trazan las mediatrices del eje mayor y se eligen sus intersecciones con la circunferencia principal.
  4. Se divide el eje mayor en cuatro partes iguales y se toman la primera y la última división.

Explanation

En el óvalo de cuatro centros dado el eje mayor se trazan circunferencias auxiliares desde los extremos del eje y se unen puntos convenientes; las rectas así obtenidas cortan al eje menor en los centros de los arcos menores. Los centros mayores se sitúan sobre el eje mayor. La construcción garantiza la continuidad de los enlaces.

Question 37Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En una tangencia entre una recta y una circunferencia, se conoce el punto de tangencia T sobre la circunferencia. ¿Qué recta contiene al centro de la circunferencia?

  1. La perpendicular a la recta tangente en T, que pasa por el centro. Correct answer.
  2. La paralela a la recta tangente por T.
  3. La bisectriz del ángulo que forma la recta con el diámetro horizontal.
  4. La recta que une T con el extremo del diámetro vertical.

Explanation

El radio trazado al punto de tangencia es siempre perpendicular a la recta tangente. Por ello, la perpendicular a la tangente en T contiene necesariamente al centro de la circunferencia. Esta propiedad es la base de todas las construcciones de tangencias con rectas.

Question 38Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Se desea enlazar dos circunferencias exteriores de radios r y r' mediante un arco de radio R que las envuelva por el exterior. ¿Qué lugar geométrico determina el centro del arco?

  1. Las circunferencias concéntricas de radios r − R y r' − R.
  2. Las circunferencias concéntricas de radios R − r y R − r'.
  3. Las circunferencias de diámetro R trazadas desde los centros de las dadas.
  4. Las circunferencias concéntricas de radios r + R y r' + R, cuya intersección es el centro. Correct answer.

Explanation

Cuando el arco de enlace es exterior a ambas circunferencias, el centro debe estar a distancia r + R de un centro y r' + R del otro. La intersección de esas dos circunferencias auxiliares proporciona el centro del enlace. Los puntos de tangencia se obtienen sobre las rectas que unen ese centro con cada centro dado.

Question 39Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

En una construcción de semejanza, se quiere dibujar una figura semejante a otra con razón de semejanza k = 0,5 y con un punto fijo como centro. ¿Qué transformación se aplica?

  1. Una homotecia de razón 0,5 respecto del centro fijado. Correct answer.
  2. Una traslación según un vector de módulo 0,5.
  3. Una simetría axial respecto de una recta que pase por el centro.
  4. Un giro de 180° alrededor del centro fijado.

Explanation

La homotecia conserva la forma y multiplica todas las longitudes por la razón k, manteniendo paralelos los segmentos homólogos. Con k = 0,5 la figura resultante es semejante y de tamaño mitad. Las demás transformaciones no escalan longitudes de forma proporcional.

Question 40Trazados geométricos y construcciones fundamentales (proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces, curvas cónicas y técnicas)

Al trazar la recta tangente a una elipse desde un punto exterior P, ¿qué construcción auxiliar resulta adecuada?

  1. Unir P con el centro de la elipse y tomar las intersecciones con la curva.
  2. Trazar por P una paralela al eje mayor y cortarla con la elipse.
  3. Trazar la circunferencia de centro P y radio igual al semieje menor.
  4. Trazar la circunferencia de diámetro PF y hallar sus intersecciones con la circunferencia focal, que determinan los puntos de tangencia. Correct answer.

Explanation

Las tangentes desde un punto exterior a una elipse se obtienen mediante la circunferencia focal: la circunferencia de diámetro PF corta a la focal en puntos que, unidos con el foco, dan los puntos de tangencia sobre la elipse. Es el procedimiento análogo al de las tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.

Question 41Geometría descriptiva: sistemas de representación (diédrico, axonométrico, perspectiva cónica) y sus aplicaciones

En el sistema diédrico, ¿qué representa la línea de tierra respecto a los planos de proyección?

  1. El eje de simetría del triedro fundamental
  2. La intersección entre el plano horizontal y el plano vertical de proyección Correct answer.
  3. La proyección horizontal de cualquier punto del espacio
  4. La recta perpendicular común a ambos planos de proyección

Explanation

La línea de tierra es la recta donde se cortan el plano horizontal y el vertical de proyección, y sirve de referencia para el abatimiento. Todas las cotas y alejamientos se miden respecto a ella en el plano de papel.

Question 42Geometría descriptiva: sistemas de representación (diédrico, axonométrico, perspectiva cónica) y sus aplicaciones

En un punto representado en diédrico, la distancia entre su proyección horizontal y la línea de tierra equivale a:

  1. La distancia del punto al plano de perfil
  2. La longitud de la línea de referencia abatida
  3. El alejamiento del punto respecto al plano vertical Correct answer.
  4. La cota del punto respecto al plano horizontal

Explanation

En el sistema diédrico, la separación entre la proyección horizontal y la línea de tierra mide el alejamiento, es decir, la distancia al plano vertical. La cota se lee en la proyección vertical.

Question 43Geometría descriptiva: sistemas de representación (diédrico, axonométrico, perspectiva cónica) y sus aplicaciones

En el sistema axonométrico isométrico, ¿qué relación guardan los tres ejes entre sí?

  1. Los tres ejes forman ángulos distintos según la escala de reducción
  2. Dos ejes forman 90° y el tercero 135°
  3. Los ejes X e Y forman 90° y el Z queda vertical con 90° respecto a ambos
  4. Los tres ejes forman ángulos iguales de 120° en el plano del dibujo Correct answer.

Explanation

En la perspectiva isométrica los tres ejes se proyectan separados 120° sobre el plano del cuadro, lo que produce tres escalas de reducción iguales. Por eso las tres direcciones se dibujan con el mismo coeficiente.

Question 44Geometría descriptiva: sistemas de representación (diédrico, axonométrico, perspectiva cónica) y sus aplicaciones

En perspectiva cónica, el punto principal de la perspectiva se define como:

  1. La proyección ortogonal del punto de vista sobre el plano del cuadro Correct answer.
  2. La intersección de la línea de horizonte con el plano geometral
  3. El centro geométrico del formato del dibujo
  4. El punto de fuga de las rectas perpendiculares al cuadro situadas en el geometral

Explanation

El punto principal es la proyección perpendicular del ojo (punto de vista) sobre el plano del cuadro. Se sitúa sobre la línea de horizonte y marca la dirección de la mirada.

Question 45Geometría descriptiva: sistemas de representación (diédrico, axonométrico, perspectiva cónica) y sus aplicaciones

¿Cómo se representa en diédrico una recta paralela al plano horizontal y contenida en el plano vertical?

  1. Su proyección vertical es perpendicular a la línea de tierra
  2. Su proyección horizontal es paralela a la línea de tierra y su proyección vertical también lo es Correct answer.
  3. Su proyección vertical es paralela a la línea de tierra y su proyección horizontal es un punto
  4. Su proyección horizontal es paralela a la línea de tierra y su proyección vertical coincide con ella

Explanation

Una recta paralela al plano horizontal tiene cota constante, por lo que su proyección vertical queda paralela a la línea de tierra. Si además está contenida en el plano vertical, su alejamiento es nulo y la proyección horizontal también resulta paralela a la línea de tierra.

Question 46Geometría descriptiva: sistemas de representación (diédrico, axonométrico, perspectiva cónica) y sus aplicaciones

En diédrico, dos rectas que se cruzan en el espacio se reconocen porque:

  1. Sus proyecciones se cortan en un punto situado sobre la línea de tierra
  2. Sus proyecciones verticales coinciden y las horizontales son paralelas
  3. Sus proyecciones homónimas son paralelas entre sí
  4. Las intersecciones de sus proyecciones homónimas no comparten una misma línea de referencia Correct answer.

Explanation

Si dos rectas se cortan, el punto de corte de las proyecciones horizontales y el de las verticales deben alinearse sobre una misma perpendicular a la línea de tierra. Cuando esos puntos no se corresponden, las rectas se cruzan sin cortarse.

Question 47Geometría descriptiva: sistemas de representación (diédrico, axonométrico, perspectiva cónica) y sus aplicaciones

Al abatir un plano proyectante vertical sobre el plano horizontal, ¿qué ocurre con las rectas horizontales de dicho plano?

  1. Se convierten en puntos
  2. Se transforman en rectas perpendiculares a la línea de tierra
  3. Se ven en verdadera magnitud y paralelas a la línea de tierra Correct answer.
  4. Mantienen su proyección vertical sin cambio alguno

Explanation

Las rectas horizontales de un plano son paralelas al plano horizontal, por lo que al abatir el plano que las contiene quedan en verdadera magnitud. Su dirección abatida resulta paralela a la línea de tierra.

Question 48Geometría descriptiva: sistemas de representación (diédrico, axonométrico, perspectiva cónica) y sus aplicaciones

En diédrico, la intersección de dos planos se determina habitualmente:

  1. Abatiendo uno de los planos sobre el otro
  2. Trazando las rectas de máxima pendiente de ambos planos
  3. Hallando dos puntos comunes a los dos planos mediante rectas auxiliares Correct answer.
  4. Proyectando los planos sobre el plano de perfil únicamente

Explanation

La intersección de dos planos es una recta, y para definirla basta con obtener dos puntos que pertenezcan simultáneamente a ambos. Se suelen emplear planos auxiliares o rectas contenidas en los planos dados para localizar esos puntos.

Question 49Geometría descriptiva: sistemas de representación (diédrico, axonométrico, perspectiva cónica) y sus aplicaciones

En diédrico, ¿qué condición debe cumplir una recta para ser perpendicular a un plano?

  1. Ser perpendicular a la línea de tierra
  2. Tener sus proyecciones perpendiculares a las trazas homónimas del plano Correct answer.
  3. Ser perpendicular a todas las rectas horizontales del plano y a su traza vertical
  4. Ser paralela a la traza horizontal del plano

Explanation

Una recta perpendicular a un plano lo es a todas las rectas contenidas en él. En diédrico esto se traduce en que su proyección horizontal sea perpendicular a la traza horizontal y su proyección vertical perpendicular a la traza vertical.

Question 50Geometría descriptiva: sistemas de representación (diédrico, axonométrico, perspectiva cónica) y sus aplicaciones

En el sistema axonométrico, un segmento paralelo al eje Z se dibuja en perspectiva:

  1. Sin reducción alguna, sea cual sea el sistema
  2. Con la misma reducción que los segmentos paralelos a X e Y en cualquier axonometría
  3. Con la reducción correspondiente al eje Z, que en isométrico coincide con las de X e Y Correct answer.
  4. Siempre en verdadera magnitud porque Z es vertical

Explanation

Cada eje axonométrico tiene su propio coeficiente de reducción, salvo en la isométrica donde los tres son iguales. Un segmento paralelo a Z se acorta según ese coeficiente, que no tiene por qué ser la unidad.