Trazados geométricos y construcciones fundamentales: proporcionalidad, semejanza, tangencias, enlaces y cónicas
Este bloque evalúa la construcción rigurosa con regla y compás y la justificación de cada trazado, no solo el resultado limpio. En la PAU de Aragón se aplica a figuras de diseño, carteles o piezas, y exige reconocer propiedades geométricas antes de dibujar.
Proporcionalidad y semejanza
La cuarta proporcional resuelve a/b = c/x mediante el teorema de Thales: se trazan dos semirrectas, se llevan segmentos homólogos y se cierra con una paralela. La tercera proporcional es el caso a/b = b/x. La media proporcional, x = √(a·b), se obtiene con una semicircunferencia de diámetro a+b y la altura sobre la hipotenusa; también da la sección áurea cuando x/a = a/(a+x). En semejanza, dos figuras tienen ángulos iguales y lados homólogos proporcionales; la razón k multiplica longitudes y k² las áreas. La homotecia es una semejanza con centro y razón, útil para ampliar sin cambiar la forma.
Tangencias y enlaces
Una tangencia cumple que la recta es perpendicular al radio en el punto de contacto. El centro de una circunferencia tangente a dos rectas está en su bisectriz; si es tangente a una recta, su centro está en una paralela a distancia r. Entre circunferencias, la distancia entre centros es R+r en tangencia exterior y |R−r| en interior. Un enlace es un arco de radio dado tangente a dos elementos: se localiza el centro en la intersección de los lugares geométricos (paralelas o circunferencias concéntricas) y se hallan los puntos de tangencia en las rectas que unen centros o en las perpendiculares a las rectas.
Cónicas
La elipse es el lugar de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante; la parábola, cuya distancia al foco iguala la distancia a la directriz; la hipérbola, cuya diferencia de distancias a los focos es constante. La excentricidad e = c/a clasifica la cónica (e<1, e=1, e>1). Las construcciones por puntos y las tangentes se apoyan en esas definiciones.
Ejemplo razonado
Para enlazar dos rectas que forman 60° con un arco de radio 20 mm, traza paralelas a cada recta a 20 mm hacia el interior; su intersección O es el centro. Baja perpendiculares desde O a cada recta: T1 y T2 son los puntos de tangencia. Con centro en O y radio 20 mm, dibuja el arco entre T1 y T2. La clave es que el centro no está en el vértice del ángulo.
Errores que cuestan puntos
Confundir el centro del arco con el punto de tangencia; usar R+r en una tangencia interior; olvidar la perpendicularidad en el punto de contacto; y no comprobar que el arco enlaza por el lado correcto.