Tres menús, un lote incierto y un contrato exacto
Una empresa de catering de Valladolid prepara tres menús: A, B y C. Cada A requiere 2 raciones de proteína, 1 de guarnición y 1 de postre; cada B, 1, 2 y 1; cada C, 1, 1 y 2. Para un evento dispone de 120 raciones de proteína y 90 de guarnición. La disponibilidad de postre es incierta: el proveedor confirma 90 + k raciones, con k un número real. El cliente impone además que el número de menús B sea igual al de C. Por contrato, deben consumirse exactamente todas las raciones disponibles de proteína y guarnición, y también el lote completo de postres. El jefe de cocina sostiene que, sea cual sea k, el pedido podrá atenderse; la responsable de compras cree que hay un valor de k para el que el sistema deja de tener solución y otro para el que podría tener infinitas. Antes de firmar, quieren saber cuántos menús de cada tipo pueden comprometer y qué margen de postres deben exigir al proveedor.
1. Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona los menús A, B y C con las existencias y discute, en función de k, si tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna. No hace falta resolverlo numéricamente en todos los casos.
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Sean x, y, z los números de menús A, B y C. El consumo exacto impone:
2x + y + z = 120 x + 2y + z = 90 x + y + 2z = 90 + k y = z
Sustituyendo y = z = t en las dos primeras: 2x + 2t = 120, luego x + t = 60 x + 3t = 90 Restando: 2t = 30, de donde t = 15 y x = 45. La tercera ecuación queda 45 + 15 + 30 = 90, es decir, 90 = 90 + k, que exige k = 0. Por tanto, si k = 0 hay solución única (45, 15, 15); si k ≠ 0 el sistema es incompatible. No existe ningún k que produzca infinitas soluciones, porque las dos primeras ecuaciones junto con y = z ya fijan x e y. La sospecha de la responsable de compras es correcta solo en parte: hay un valor con solución única y el resto son incompatibles, pero no hay caso de infinitas soluciones.
2. Interpreta el resultado para k = 0, comprueba que la combinación respeta las existencias y explica qué debe contestar la empresa al jefe de cocina y al proveedor.
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Para k = 0 la única combinación es 45 menús A, 15 menús B y 15 menús C. Comprobación: proteína = 2·45 + 15 + 15 = 120; guarnición = 45 + 2·15 + 15 = 90; postre = 45 + 15 + 2·15 = 90. Se consumen exactamente las existencias y el lote completo. Al jefe de cocina hay que decirle que su afirmación no es válida: si el proveedor entrega más de 90 postres, el contrato de consumo exacto no se puede cumplir con esos tres menús; haría falta renegociar el contrato, cambiar la composición de los menús o dejar postres fuera del lote, lo que el sistema exacto no admite. Al proveedor hay que exigirle exactamente 90 postres o, si entrega más, acordar por escrito que el excedente no forma parte del lote contractual.