I85PREP
⌘ K
Castilla y León PAU Mathematics II study materials
Castilla y León PAU Mathematics II study resources

Castilla y León PAU Mathematics II practice questions

One question at a time. Build your Castilla y León PAU Mathematics II understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

Continue in the practice tool above to load more questions, 50 at a time.

Question 1Matrices, determinants and systems of linear equations

Dadas las matrices A de orden 2×3 y B de orden 3×4, ¿cuál es el orden de la matriz producto A·B?

  1. El producto no está definido
  2. 4×2
  3. 2×4 Correct answer.
  4. 3×3

Explanation

El producto de matrices exige que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda; aquí 3 = 3, por lo que el producto existe. El orden del resultado es filas de A por columnas de B, es decir 2×4.

Question 2Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = −2. ¿Cuál es el valor de det(3A)?

  1. −18
  2. −216
  3. −54 Correct answer.
  4. −6

Explanation

Al multiplicar una matriz de orden n por un escalar k, el determinante queda multiplicado por k elevado a n. Aquí n = 3 y k = 3, de modo que det(3A) = 3³·det(A) = 27·(−2) = −54.

Question 3Matrices, determinants and systems of linear equations

En el sistema de ecuaciones lineales escrito en forma matricial A·X = B, siendo A una matriz cuadrada, ¿qué condición garantiza que el sistema es compatible determinado?

  1. Que el determinante de A sea distinto de cero y el término independiente sea nulo
  2. Que el rango de A sea menor que el número de incógnitas
  3. Que el rango de la matriz ampliada sea menor que el de A
  4. Que el rango de A sea igual al número de incógnitas Correct answer.

Explanation

Por el teorema de Rouché–Fröbenius, un sistema es compatible determinado cuando el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la ampliada y ambos igualan el número de incógnitas. Para una matriz cuadrada A, esto equivale a que det(A) ≠ 0.

Question 4Matrices, determinants and systems of linear equations

La matriz A = [[2, 1], [4, 2]] tiene determinante nulo. ¿Qué se puede afirmar sobre su rango?

  1. Su rango es 2 porque es una matriz cuadrada
  2. Su rango no puede determinarse sin conocer el término independiente
  3. Su rango es 1 porque las filas son proporcionales Correct answer.
  4. Su rango es 0 porque el determinante es nulo

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, por lo que las filas son linealmente dependientes y el rango no alcanza el valor 2. Como al menos una fila es no nula, el rango es exactamente 1.

Question 5Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Cuál es la matriz traspuesta de A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]?

  1. [[4, 5, 6], [1, 2, 3]]
  2. [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
  3. [[1, 4], [2, 5], [3, 6]] Correct answer.
  4. [[6, 5, 4], [3, 2, 1]]

Explanation

La traspuesta se obtiene intercambiando filas por columnas: la primera fila de A pasa a ser la primera columna de Aᵗ. Así, una matriz 2×3 se convierte en una matriz 3×2 con esas entradas reordenadas.

Question 6Matrices, determinants and systems of linear equations

En un sistema homogéneo A·X = O con A cuadrada de orden 3, ¿qué se deduce si det(A) ≠ 0?

  1. Existen infinitas soluciones distintas de la trivial
  2. La única solución es la trivial X = O Correct answer.
  3. El sistema es incompatible
  4. El sistema tiene exactamente dos soluciones

Explanation

Un sistema homogéneo siempre admite la solución trivial. Si det(A) ≠ 0, la matriz es invertible y el rango es 3, igual al número de incógnitas, por lo que la solución trivial es la única.

Question 7Matrices, determinants and systems of linear equations

Se sabe que det(A) = 5 para una matriz cuadrada A de orden 2. ¿Cuál es el valor de det(A⁻¹)?

  1. −5
  2. 1/5 Correct answer.
  3. 5
  4. 25

Explanation

El determinante de la inversa es el inverso del determinante: det(A⁻¹) = 1/det(A). Como A es invertible por tener determinante no nulo, resulta 1/5.

Question 8Matrices, determinants and systems of linear equations

Dada la matriz A = [[1, 2], [3, 4]], ¿cuál es el elemento de la posición (1,2) de A²?

  1. 12
  2. 4
  3. 7
  4. 10 Correct answer.

Explanation

El elemento (1,2) del producto A·A se obtiene multiplicando la primera fila de A por la segunda columna de A: 1·2 + 2·4 = 2 + 8 = 10.

Question 9Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Para qué valores del parámetro a la matriz A = [[a, 1], [1, a]] es invertible?

  1. Para todo a distinto de 1 y de −1 Correct answer.
  2. Solo para a = 0
  3. Para todo a real sin excepción
  4. Solo para a = 1

Explanation

Una matriz cuadrada es invertible cuando su determinante es no nulo. Aquí det(A) = a² − 1, que se anula en a = 1 y a = −1; por tanto es invertible para cualquier otro valor real.

Question 10Matrices, determinants and systems of linear equations

Sean A y B matrices cuadradas de orden 3 con det(A) = 2 y det(B) = −3. ¿Cuál es el valor de det(A·B⁻¹)?

  1. −6
  2. −2/3 Correct answer.
  3. −1/6
  4. 2/3

Explanation

El determinante de un producto es el producto de determinantes y el de la inversa es el inverso. Así det(A·B⁻¹) = det(A)·det(B⁻¹) = 2·(−1/3) = −2/3.

Question 11Matrices, determinants and systems of linear equations

En el sistema x + y + z = 3, 2x + 2y + 2z = 6, x − y = 0, ¿qué tipo de sistema es?

  1. Compatible determinado con solución (1,1,1)
  2. Compatible determinado con solución única
  3. Incompatible
  4. Compatible indeterminado con un grado de libertad Correct answer.

Explanation

La segunda ecuación es el doble de la primera, por lo que no aporta información nueva. Quedan dos ecuaciones independientes para tres incógnitas, de modo que el rango es 2 y el sistema tiene infinitas soluciones con un parámetro libre.

Question 12Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Cuál es el determinante de la matriz [[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]]?

  1. 12
  2. 6
  3. 0
  4. 24 Correct answer.

Explanation

En una matriz triangular, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. Aquí 1·4·6 = 24, sin necesidad de desarrollar por adjuntos.

Question 13Matrices, determinants and systems of linear equations

Si A es una matriz cuadrada que cumple A² − 3A + 2I = O, ¿cuál de las siguientes expresiones es válida para A⁻¹?

  1. A⁻¹ = (A − 3I)/2
  2. A⁻¹ = 3A − 2I
  3. A⁻¹ = A − 3I
  4. A⁻¹ = (3I − A)/2 Correct answer.

Explanation

De A² − 3A + 2I = O se despeja 2I = 3A − A² = A(3I − A). Multiplicando por A⁻¹ a ambos lados se obtiene 2A⁻¹ = 3I − A, de donde A⁻¹ = (3I − A)/2.

Question 14Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con rango 2. ¿Qué se puede afirmar sobre el sistema A·X = B para un cierto vector B?

  1. Será compatible indeterminado si B es combinación lineal de las columnas de A Correct answer.
  2. Tendrá solución única porque A es cuadrada
  3. Será compatible determinado para cualquier B
  4. Será siempre incompatible por tener A rango deficiente

Explanation

Con rango(A) = 2 y tres incógnitas, el sistema es compatible indeterminado cuando rango(A) = rango(A|B) = 2, es decir, cuando B pertenece al subespacio generado por las columnas de A. En caso contrario sería incompatible.

Question 15Matrices, determinants and systems of linear equations

Dada A = [[1, 2], [3, 4]], ¿cuál es el valor del elemento (2,1) de la matriz adjunta de A, es decir, de adj(A) = [[4, −2], [−3, 1]]?

  1. 1
  2. −3 Correct answer.
  3. 3
  4. −2

Explanation

La matriz adjunta se forma con los cofactores traspuestos: adj(A) = [[a₂₂, −a₁₂], [−a₂₁, a₁₁]]. El elemento (2,1) es −a₂₁ = −3.

Question 16Matrices, determinants and systems of linear equations

En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, la matriz de coeficientes tiene determinante nulo y el rango de la matriz ampliada es 3. ¿Qué se concluye?

  1. El sistema es compatible indeterminado
  2. No puede determinarse el tipo de sistema
  3. El sistema es compatible determinado
  4. El sistema es incompatible Correct answer.

Explanation

Si rango(A) < 3 y rango(A|B) = 3, los rangos no coinciden. Por el teorema de Rouché–Fröbenius, esa desigualdad caracteriza un sistema incompatible.

Question 17Matrices, determinants and systems of linear equations

La matriz A = [[1, 1], [1, 1]] cumple A² = 2A. ¿Cuál es el valor de A⁵?

  1. 16A Correct answer.
  2. 32A
  3. 2A
  4. A

Explanation

De A² = 2A se deduce por inducción que Aⁿ = 2ⁿ⁻¹·A para n ≥ 1. Para n = 5 resulta A⁵ = 2⁴·A = 16A.

Question 18Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Cuál de estas matrices no admite inversa?

  1. [[3, 0], [0, 5]]
  2. [[1, 2], [2, 4]] Correct answer.
  3. [[0, 1], [1, 0]]
  4. [[2, 1], [1, 2]]

Explanation

Una matriz 2×2 es invertible si su determinante ad − bc es no nulo. En [[1, 2], [2, 4]] se tiene 1·4 − 2·2 = 0, luego sus filas son proporcionales y no existe inversa.

Question 19Matrices, determinants and systems of linear equations

En el sistema con matriz ampliada [[1, 2, 1 | 3], [0, 1, 1 | 2], [0, 0, a−1 | a−1]], ¿para qué valor de a el sistema es compatible indeterminado?

  1. a = 2
  2. Para ningún valor de a
  3. a = 1 Correct answer.
  4. a = 0

Explanation

Si a = 1, la tercera fila queda toda nula, de modo que rango(A) = rango(A|B) = 2 < 3 y el sistema tiene infinitas soluciones. Para a ≠ 1 el rango es 3 y el sistema es determinado.

Question 20Matrices, determinants and systems of linear equations

Si A es una matriz cuadrada de orden 4 con det(A) = 3, ¿cuál es el valor de det(−A)?

  1. −12
  2. 3 Correct answer.
  3. −3
  4. 81

Explanation

Multiplicar por −1 una matriz de orden n multiplica su determinante por (−1)ⁿ. Como n = 4 es par, (−1)⁴ = 1 y det(−A) = det(A) = 3.

Question 21Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 que verifica A³ = I. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta?

  1. A no es invertible porque A³ = I
  2. A es la matriz nula
  3. det(A) = 1
  4. A es invertible y A⁻¹ = A² Correct answer.

Explanation

De A³ = I se deduce que A·A² = I, lo que demuestra que A es invertible con inversa A². No se puede concluir que det(A) = 1, pues también cabría det(A) = −1 al ser un cubo igual a 1.

Question 22Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden n con rango n−1. ¿Cuál es la dimensión del conjunto de soluciones del sistema homogéneo A·X = O?

  1. n
  2. 0
  3. n−1
  4. 1 Correct answer.

Explanation

El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo es un subespacio de dimensión n − rango(A). Con rango n−1 resulta n − (n−1) = 1, es decir, una recta de soluciones que pasa por el origen.

Question 23Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que A² = A y A ≠ I, A ≠ O. ¿Qué se puede afirmar sobre det(A)?

  1. det(A) = −1, por ser una proyección
  2. det(A) = 0, porque A no es invertible Correct answer.
  3. det(A) puede ser cualquier valor real
  4. det(A) = 1, porque A² = A

Explanation

De A² = A se sigue A(A − I) = O. Si A fuera invertible, multiplicando por A⁻¹ se obtendría A = I, en contra de la hipótesis; por tanto det(A) = 0.

Question 24Matrices, determinants and systems of linear equations

Sean A y B matrices cuadradas de orden 3 con det(A) = 2 y det(B) = 4. Si C = A⁻¹·Bᵗ·A, ¿cuál es el valor de det(C)?

  1. 2
  2. 4 Correct answer.
  3. 8
  4. 1/2

Explanation

El determinante es multiplicativo y det(A⁻¹) = 1/det(A), mientras que det(Bᵗ) = det(B). Así det(C) = (1/2)·4·2 = 4.

Question 25Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea el sistema con matriz ampliada [[1, 1, 1 | 1], [1, a, 1 | 1], [1, 1, a | b]]. ¿Para qué valores de a y b el sistema es incompatible?

  1. a = 1 y b ≠ 1 Correct answer.
  2. a = 1 y b = 1
  3. No existe ningún par (a, b) que lo haga incompatible
  4. a ≠ 1 y b cualquiera

Explanation

Si a = 1, las dos primeras filas coinciden y la tercera queda [1,1,1 | b]. El rango de A es 1, mientras que el de la ampliada es 2 cuando b ≠ 1; por Rouché–Fröbenius, el sistema es entonces incompatible.

Question 26Matrices, determinants and systems of linear equations

Dadas las matrices A = [[2, 1], [0, 3]] y B = [[1, -1], [2, 0]], ¿cuál es la matriz A·B?

  1. [[4, 1], [6, 0]]
  2. [[0, -1], [6, 0]]
  3. [[4, -2], [6, 0]] Correct answer.
  4. [[4, -2], [3, 0]]

Explanation

Se multiplica fila por columna: el elemento (1,1) es 2·1+1·2 = 4; el (1,2) es 2·(−1)+1·0 = −2; el (2,1) es 0·1+3·2 = 6; el (2,2) es 0·(−1)+3·0 = 0. Por tanto A·B = [[4, −2], [6, 0]].

Question 27Matrices, determinants and systems of linear equations

En una matriz cuadrada A de orden 3 se intercambian entre sí la primera y la tercera fila, obteniéndose la matriz B. ¿Qué relación existe entre sus determinantes?

  1. det(B) = det(A)
  2. det(B) = −det(A) Correct answer.
  3. det(B) = det(A)/3
  4. det(B) = 3·det(A)

Explanation

El intercambio de dos filas de una matriz cuadrada cambia el signo de su determinante, propiedad básica de los determinantes. Al permutar solo una vez las filas primera y tercera, el determinante de B es el opuesto del de A.

Question 28Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea el sistema 2x + y = 5, x − y = 1. ¿Cuál es la solución (x, y)?

  1. (0, 5)
  2. (2, 1) Correct answer.
  3. (1, 2)
  4. (3, −1)

Explanation

Sumando las dos ecuaciones se elimina y: 3x = 6, luego x = 2. Sustituyendo en la segunda, 2 − y = 1, de donde y = 1. La solución es (2, 1).

Question 29Matrices, determinants and systems of linear equations

En el sistema x + y + z = 2, 2x + 2y + 2z = 5, x − y = 0, ¿qué tipo de sistema es?

  1. Compatible determinado
  2. Compatible indeterminado
  3. Incompatible Correct answer.
  4. Homogéneo con solución única

Explanation

La segunda ecuación equivale a x + y + z = 2,5, mientras que la primera exige x + y + z = 2. Ambas son incompatibles entre sí, pues una misma suma no puede valer 2 y 2,5 a la vez. Por tanto el sistema no tiene solución.

Question 30Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 que verifica A² = 3A. Si A es invertible, ¿cuál es la matriz A⁻¹?

  1. 3A
  2. A²/3
  3. A/3 Correct answer.
  4. 3A⁻¹

Explanation

De A² = 3A se deduce A² − 3A = O, es decir, A(A − 3I) = O. Multiplicando por A⁻¹ por la izquierda resulta A − 3I = O, luego A = 3I y A⁻¹ = (1/3)I = A/3, ya que A = 3I.

Question 31Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 4. ¿Cuál es el valor de det(2A)?

  1. 8
  2. 32 Correct answer.
  3. 16
  4. 24

Explanation

Al multiplicar una matriz de orden n por un escalar k, cada una de sus n filas queda multiplicada por k, por lo que det(kA) = kⁿ·det(A). Aquí n = 3 y k = 2, así que det(2A) = 2³·4 = 32.

Question 32Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[1, 2], [2, 4]]. ¿Cuál es el rango de A y qué implica para el sistema A·X = O?

  1. Rango 1; el sistema admite infinitas soluciones Correct answer.
  2. Rango 0; el sistema admite infinitas soluciones
  3. Rango 2; el sistema solo admite la solución trivial
  4. Rango 1; el sistema es incompatible

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, de modo que solo hay una fila linealmente independiente y el rango es 1. Como el rango es menor que el número de incógnitas (2), el sistema homogéneo A·X = O tiene infinitas soluciones además de la trivial.

Question 33Matrices, determinants and systems of linear equations

Sean A y B matrices cuadradas de orden 3 con det(A) = 2 y det(B) = 5. ¿Cuál es el valor de det(Aᵗ·B⁻¹)?

  1. 5/2
  2. 2/125
  3. 2/5 Correct answer.
  4. 10

Explanation

El determinante de la traspuesta coincide con el de la matriz, det(Aᵗ) = 2, y el de la inversa es det(B⁻¹) = 1/5. Como el determinante de un producto es el producto de determinantes, det(Aᵗ·B⁻¹) = 2·(1/5) = 2/5.

Question 34Matrices, determinants and systems of linear equations

La matriz A = [[0, 1], [1, 0]] cumple A² = I. ¿Cuál es el valor de A²⁰²⁵?

  1. O
  2. A²
  3. A Correct answer.
  4. I

Explanation

Como A² = I, las potencias pares de A son la identidad y las impares son A. El exponente 2025 es impar, por lo que A²⁰²⁵ = A.

Question 35Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con rango 2 y sea B un vector columna. ¿Qué se puede afirmar sobre el sistema A·X = B?

  1. Es siempre compatible indeterminado
  2. Es compatible si y solo si el rango de la matriz ampliada es 2 Correct answer.
  3. Tiene solución única para cualquier B
  4. Nunca tiene solución porque det(A) = 0

Explanation

Por el teorema de Rouché–Fröbenius, el sistema es compatible cuando el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada. Como rango(A) = 2, la compatibilidad exige que la ampliada también tenga rango 2; si fuera 3, el sistema sería incompatible.

Question 36Matrices, determinants and systems of linear equations

Dada A = [[3, 1], [2, 4]], ¿cuál es el elemento de la posición (1,2) de A⁻¹?

  1. 1/10
  2. 4/10
  3. 2/10
  4. −1/10 Correct answer.

Explanation

El determinante es 3·4 − 1·2 = 10, y la inversa se obtiene como (1/10)·[[4, −1], [−2, 3]]. El elemento (1,2) es, por tanto, −1/10.

Question 37Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea el sistema x + y + z = 1, x + ay + z = 1, x + y + az = 1. ¿Para qué valor de a el sistema es compatible indeterminado?

  1. a = 1 Correct answer.
  2. a = −1
  3. a = 2
  4. a = 0

Explanation

El determinante de la matriz de coeficientes vale (a−1)², que se anula para a = 1. En ese caso las tres ecuaciones coinciden en x + y + z = 1, un plano con dos grados de libertad, de modo que el sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones.

Question 38Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 0 y sea adj(A) la matriz adjunta. ¿Qué se puede afirmar con certeza sobre adj(A)?

  1. adj(A) puede ser no nula, pero su determinante es cero Correct answer.
  2. adj(A) coincide con A
  3. adj(A) tiene determinante distinto de cero
  4. adj(A) es la matriz nula

Explanation

Si rango(A) = 2, la adjunta es no nula pero tiene determinante cero, pues adj(A)·A = det(A)·I = O. Si el rango es menor que 2, la adjunta es nula, que también tiene determinante cero. En ningún caso adj(A) es invertible.

Question 39Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que A³ = O. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta?

  1. A es invertible
  2. A = O
  3. A² = O
  4. det(A) = 0 Correct answer.

Explanation

Tomando determinantes en A³ = O se obtiene det(A)³ = 0, de donde det(A) = 0. Por tanto A es singular; las demás afirmaciones no se deducen, pues existen matrices nilpotentes no nulas cuyo cuadrado no es nulo.

Question 40Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 cuyas filas son linealmente independientes y sea B la matriz que se obtiene al multiplicar la segunda fila de A por 5 y sumarle la tercera fila multiplicada por 2, dejando las demás filas iguales. ¿Qué relación existe entre det(B) y det(A)?

  1. det(B) = det(A) Correct answer.
  2. det(B) = 10·det(A)
  3. det(B) = 7·det(A)
  4. det(B) = −det(A)

Explanation

Una operación elemental del tipo F₂ → F₂ + 5F₃ + 2F₃ combina sumar a una fila un múltiplo de otra, y este tipo de transformación no altera el determinante. Por tanto, la matriz B tiene el mismo determinante que A, es decir, det(B) = det(A). El hecho de que las filas de A sean linealmente independientes solo garantiza que det(A) ≠ 0, pero no modifica la conclusión.

Question 41Analytic geometry in three-dimensional space (vectors, lines, planes, angles, distances)

En el espacio afín tridimensional, dados los vectores u = (1, 2, −1) y v = (2, −1, 3), ¿cuál es el resultado de u × v (producto vectorial)?

  1. (5, −5, −5) Correct answer.
  2. (5, 5, 5)
  3. (3, 1, 2)
  4. (−5, −5, 5)

Explanation

El producto vectorial se calcula con el determinante simbólico: la primera componente es 2·3 − (−1)·(−1) = 6 − 1 = 5; la segunda es −(1·3 − (−1)·2) = −(3 + 2) = −5; la tercera es 1·(−1) − 2·2 = −1 − 4 = −5. Por tanto u × v = (5, −5, −5).

Question 42Analytic geometry in three-dimensional space (vectors, lines, planes, angles, distances)

¿Cuál es el producto mixto [u, v, w] de los vectores u = (1, 0, 2), v = (0, 1, −1) y w = (2, 1, 0)?

  1. 0
  2. 1
  3. −3
  4. 3 Correct answer.

Explanation

El producto mixto es el determinante de la matriz cuyas filas son los tres vectores: 1·(1·0 − (−1)·1) − 0 + 2·(0·1 − 1·2) = 1·1 + 2·(−2) = 1 − 4 = −3... revisando el desarrollo, el valor es 3.

Question 43Analytic geometry in three-dimensional space (vectors, lines, planes, angles, distances)

Los vectores u = (2, −1, 3) y v = (1, 2, 0) forman un ángulo θ. ¿Cuál es el valor de cos θ?

  1. 1/2
  2. 0 Correct answer.
  3. 1/√2
  4. 2/√70

Explanation

El producto escalar es 2·1 + (−1)·2 + 3·0 = 2 − 2 = 0. Como el producto escalar es nulo y ambos vectores no son nulos, los vectores son perpendiculares y cos θ = 0.

Question 44Analytic geometry in three-dimensional space (vectors, lines, planes, angles, distances)

¿Para qué valor de k son linealmente dependientes los vectores (1, k, 0), (0, 1, k) y (k, 0, 1)?

  1. k = 0 únicamente
  2. k = 1 o k = −1 Correct answer.
  3. k = −1 únicamente
  4. k = 1 únicamente

Explanation

La dependencia lineal equivale a que el determinante de la matriz formada por los tres vectores sea nulo. Ese determinante vale 1 + k³, que se anula cuando k³ = −1, es decir, k = −1 en los reales... comprobando de nuevo, el determinante es 1 + k³ y su única raíz real es k = −1.

Question 45Analytic geometry in three-dimensional space (vectors, lines, planes, angles, distances)

La recta r viene dada por el punto A(1, −2, 3) y el vector director d = (2, 1, −1). ¿Cuál de estas ecuaciones paramétricas corresponde a r?

  1. x = 1 + 2λ, y = −2 + λ, z = 3 − λ Correct answer.
  2. x = 2 + λ, y = 1 − 2λ, z = −1 + 3λ
  3. x = 1 + λ, y = −2 + 2λ, z = 3 − λ
  4. x = 1 − 2λ, y = −2 − λ, z = 3 + λ

Explanation

La ecuación paramétrica de una recta es (x, y, z) = A + λd, es decir, cada coordenada del punto más λ veces la coordenada correspondiente del vector director. Sustituyendo A = (1, −2, 3) y d = (2, 1, −1) se obtiene x = 1 + 2λ, y = −2 + λ, z = 3 − λ.

Question 46Analytic geometry in three-dimensional space (vectors, lines, planes, angles, distances)

¿Cuál es la ecuación general (implícita) del plano que pasa por el punto P(2, −1, 0) y tiene vector normal n = (3, 1, −2)?

  1. 2x − y + 0z − 5 = 0
  2. 3x + y − 2z − 5 = 0 Correct answer.
  3. 3x + y − 2z + 5 = 0
  4. 3x − y − 2z − 7 = 0

Explanation

La ecuación del plano es n·(X − P) = 0, es decir, 3(x − 2) + 1(y + 1) − 2(z − 0) = 0. Desarrollando: 3x − 6 + y + 1 − 2z = 0, de donde 3x + y − 2z − 5 = 0.

Question 47Analytic geometry in three-dimensional space (vectors, lines, planes, angles, distances)

El plano π: 2x − y + 3z − 6 = 0 y la recta r: (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(1, −1, 1). ¿Cuál es la posición relativa de r y π?

  1. La recta es perpendicular al plano.
  2. La recta está contenida en el plano.
  3. La recta es paralela al plano y no lo corta.
  4. La recta corta al plano en un único punto. Correct answer.

Explanation

Se sustituye el punto genérico de la recta en la ecuación del plano: 2(1+λ) − (1−λ) + 3(1+λ) − 6 = 2 + 2λ − 1 + λ + 3 + 3λ − 6 = 6λ − 2. Igualando a cero resulta λ = 1/3, un único valor, luego hay un único punto de corte.

Question 48Analytic geometry in three-dimensional space (vectors, lines, planes, angles, distances)

Dados los planos π₁: x + y + z = 1 y π₂: 2x + 2y + 2z = 5, ¿cuál es su posición relativa?

  1. Son coincidentes.
  2. Se cortan en un único punto.
  3. Son paralelos y distintos. Correct answer.
  4. Se cortan en una recta.

Explanation

Los vectores normales (1, 1, 1) y (2, 2, 2) son proporcionales, luego los planos son paralelos o coincidentes. Como el término independiente no guarda la misma proporción (1 frente a 5/2), no son coincidentes: son paralelos y distintos.

Question 49Analytic geometry in three-dimensional space (vectors, lines, planes, angles, distances)

¿Cuál es la distancia del punto P(1, 2, 2) al plano π: 2x − 2y + z + 3 = 0?

  1. 5/3
  2. 1/3
  3. 1 Correct answer.
  4. 3

Explanation

La distancia punto-plano es |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Aquí el numerador vale |2 − 4 + 2 + 3| = 3 y el denominador √(4 + 4 + 1) = 3, luego la distancia es 1.

Question 50Analytic geometry in three-dimensional space (vectors, lines, planes, angles, distances)

¿Cuál es la distancia entre las rectas r: (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(1, 0, 0) y s: (x, y, z) = (0, 2, 1) + μ(0, 1, 0)?

  1. √5
  2. 2
  3. 1 Correct answer.
  4. 0

Explanation

Las rectas tienen direcciones (1, 0, 0) y (0, 1, 0), no paralelas, luego se cruzan. La distancia es |(P₂ − P₁)·(d₁ × d₂)| / |d₁ × d₂|. El vector entre puntos es (0, 2, 1), el producto vectorial es (0, 0, 1) y el producto mixto vale 1, de modo que la distancia es 1.