Castilla y León PAU Mathematics II flashcards

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Determinante de matriz inversible

Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Si det(A) = 0, la matriz es singular y no admite inversa.

Rango por menores

El rango de una matriz es el mayor orden de un menor no nulo. Coincide con el número de filas no nulas tras escalonar y con el rango de su traspuesta.

Regla de Cramer

Si det(A) ≠ 0, la solución de Ax = b es xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), donde Aᵢ es A con la columna i sustituida por el vector de términos independientes b.

Teorema de Rouché–Fröbenius

El sistema Ax = b es compatible si el rango de A iguala el rango de la matriz ampliada. Es determinado si ese rango común es igual al número de incógnitas.

Inversa por adjunta

Para A cuadrada con det(A) ≠ 0, la inversa es A⁻¹ = adj(A)ᵀ/det(A). Cada elemento de la adjunta es el determinante del menor complementario con signo alterno.

Producto escalar y ángulo

El producto escalar u·v = |u||v|cos θ permite obtener el ángulo entre vectores mediante cos θ = (u·v)/(|u||v|). Si el producto es cero, son perpendiculares.

Producto vectorial

u×v es un vector perpendicular a ambos cuyo módulo |u||v|sin θ da el área del paralelogramo que determinan. La mitad de ese módulo es el área del triángulo.

Ecuación general del plano

Un plano queda determinado por un punto P₀ y un vector normal n = (A,B,C): A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀) = 0, que se escribe como Ax+By+Cz+D = 0.

Distancia punto-plano

La distancia de P(x₀,y₀,z₀) al plano Ax+By+Cz+D = 0 es |Ax₀+By₀+Cz₀+D| dividido entre la raíz cuadrada de A²+B²+C².

Producto mixto y coplanariedad

El producto mixto u·(v×w) da el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores. Se anula exactamente cuando los tres vectores son coplanarios.

Regla de L'Hôpital

Para indeterminaciones 0/0 o ∞/∞, el límite de f/g es igual al límite de f′/g′, siempre que este exista. Puede aplicarse repetidamente si la indeterminación persiste.

Continuidad frente a derivabilidad

Toda función derivable en un punto es continua en él, pero el recíproco es falso: por ejemplo, el valor absoluto es continuo y no derivable en el origen.

Teorema de Bolzano

Si f es continua en [a,b] y toma signos opuestos en los extremos, existe al menos un c en (a,b) tal que f(c) = 0. Garantiza la existencia de raíces.

Teorema de Rolle

Si f es continua en [a,b], derivable en (a,b) y f(a) = f(b), existe un punto c interior donde f′(c) = 0. Es un caso particular del teorema del valor medio.

Criterio de la segunda derivada

En un punto crítico con f′(c) = 0, si f″(c) > 0 hay un mínimo relativo y si f″(c) < 0 hay un máximo relativo. Si f″(c) = 0 el criterio no decide.

Regla de Barrow

Si F es una primitiva de f continua en [a,b], la integral definida entre a y b es F(b) − F(a). Conecta el cálculo de primitivas con el área bajo la curva.

Integración por partes

Se aplica ∫u dv = uv − ∫v du. Conviene elegir u como polinomio, logaritmo o arco, y dv como exponencial o trigonométrica, buscando simplificar la integral restante.

Área entre dos curvas

El área encerrada entre f y g entre sus puntos de corte a y b es la integral de |f(x) − g(x)|. Los cortes se obtienen resolviendo f(x) = g(x).

Volumen de revolución

Al girar y = f(x) alrededor del eje OX entre a y b, el volumen es π∫[f(x)]²dx. Al girar alrededor de OY, con capas cilíndricas, es 2π∫x f(x)dx.

Integral impropia de 1/x^p

La integral de 1/x^p en [1,∞) converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1. Se define como el límite de la integral definida cuando el extremo tiende a infinito.

Teorema fundamental del cálculo

Si f es continua en un intervalo, la función F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt es derivable y su derivada es F′(x) = f(x). Relaciona integración y derivación como operaciones inversas.

Combinaciones sin repetición

C(n,r) = n!/[r!(n−r)!] cuenta los subconjuntos de r elementos elegidos de n sin importar el orden. Las variaciones V(n,r) = n!/(n−r)! sí distinguen el orden.

Probabilidad condicionada

P(A|B) = P(A∩B)/P(B), definida si P(B) > 0. Dos sucesos son independientes cuando P(A∩B) = P(A)P(B), equivalente a P(A|B) = P(A).

Teorema de Bayes

Permite calcular P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ) dividido entre la probabilidad total de B. Actualiza la probabilidad de una causa tras observar el suceso B.

Distribución binomial

Modela el número de éxitos en n ensayos independientes con probabilidad p constante: P(X = k) = C(n,k)pᵏ(1−p)^{n−k}, con media np y varianza np(1−p).

Tipificación normal

Si X sigue N(μ,σ), entonces Z = (X−μ)/σ sigue N(0,1). Así P(X ≤ x) = P(Z ≤ (x−μ)/σ) se obtiene de la tabla normal estándar.

Inversa de un producto

Si A y B son matrices cuadradas invertibles del mismo orden, entonces (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹. El orden se invierte, igual que en la traspuesta (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.

Gauss-Jordan para la inversa

Se amplía la matriz A con la identidad y se aplican operaciones elementales hasta obtener [I|A⁻¹]. Si aparece una fila nula en la parte izquierda, A no es invertible.

Asíntota oblicua

Existe y = mx+n si m = lim f(x)/x es finito y no nulo, y n = lim [f(x) − mx] es finito. Aparece típicamente cuando el numerador supera en un grado al denominador.

Ecuaciones paramétricas de la recta

Con punto P₀(x₀,y₀,z₀) y director d = (d₁,d₂,d₃): x = x₀+td₁, y = y₀+td₂, z = z₀+td₃. Cada valor del parámetro t da un punto de la recta.

Recta y plano secantes

Para hallar el corte, se sustituyen las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano y se despeja t. Si no hay solución, la recta es paralela al plano.

Aproximación binomial por normal

Para n grande y p no extremo, B(n,p) se aproxima por N(np, √(np(1−p))). Se aplica corrección por continuidad sumando o restando 0,5 al valor entero.