Castilla y León PAU Mathematics II cheat sheet

Una matriz A de orden n es invertible si y solo si det(A) ≠ 0; entonces A⁻¹ = adj(A)ᵀ/det(A), y (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹.

El rango de A es el mayor orden de un menor no nulo; coincide con el número de filas no nulas de su forma escalonada y con el rango de Aᵀ.

Regla de Cramer: si det(A) ≠ 0, la solución del sistema Ax = b es xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), donde Aᵢ sustituye la columna i por b.

Teorema de Rouché–Fröbenius: el sistema Ax = b es compatible si rango(A) = rango(A|b); es determinado si ese rango común iguala el número de incógnitas, e indeterminado si es menor.

Sistema homogéneo Ax = 0 siempre es compatible; tiene solución no trivial si y solo si rango(A) < número de incógnitas, es decir, det(A) = 0 cuando A es cuadrada.

Propiedades del determinante: det(AB) = det(A)det(B), det(Aᵀ) = det(A), det(kA) = kⁿdet(A) en orden n, y det(A⁻¹) = 1/det(A).

Si una fila o columna es combinación lineal de las demás, o hay dos filas iguales o proporcionales, el determinante es nulo.

El determinante se anula si y solo si las filas (o columnas) son linealmente dependientes; por tanto define el rango y la invertibilidad.

Producto escalar: u·v = |u||v|cos θ; es nulo si y solo si u y v son perpendiculares, y permite calcular el ángulo mediante cos θ = (u·v)/(|u||v|).

Producto vectorial: |u×v| = |u||v|sin θ es el área del paralelogramo; u×v es perpendicular a ambos vectores y su módulo es el doble del área del triángulo.

Producto mixto [u,v,w] = u·(v×w) es el volumen del paralelepípedo; es nulo si y solo si los tres vectores son coplanarios.

Ecuación del plano por un punto P y vector normal n = (A,B,C): A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0, es decir, Ax+By+Cz+D=0.

Un plano con normal n₁ y otro con normal n₂ forman ángulo θ con cos θ = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|); son paralelos si n₁ y n₂ son proporcionales y perpendiculares si n₁·n₂ = 0.

Distancia de un punto P(x₀,y₀,z₀) al plano Ax+By+Cz+D=0 es |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²).

Distancia de un punto P a una recta de vector director d que pasa por Q es |(P−Q)×d|/|d|; la distancia entre rectas que se cruzan es |(Q₁−Q₂)·(d₁×d₂)|/|d₁×d₂|.

Posiciones relativas de dos rectas: se estudian con rango de (d₁, d₂) y de (d₁, d₂, Q₁−Q₂); rango 2 y producto mixto nulo indica rectas coplanarias que se cortan.

f es continua en x = a si existe f(a), existe lim_{x→a} f(x) y ambos coinciden; los límites laterales deben coincidir.

Regla de L'Hôpital: para indeterminaciones 0/0 o ∞/∞, lim f/g = lim f′/g′, siempre que este último límite exista.

Indeterminaciones habituales: 0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0·∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰; las del tipo potencial se resuelven tomando logaritmos o usando lim(1+u)^{1/u} = e si u→0.

f es derivable en a si existe lim_{h→0} [f(a+h)−f(a)]/h; la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no implica derivabilidad.

Teorema de Bolzano: si f es continua en [a,b] y f(a)·f(b) < 0, existe c en (a,b) con f(c) = 0.

Teorema de Rolle: si f es continua en [a,b], derivable en (a,b) y f(a) = f(b), existe c en (a,b) con f′(c) = 0.

Teorema del valor medio: si f es continua en [a,b] y derivable en (a,b), existe c con f′(c) = [f(b)−f(a)]/(b−a).

Crecimiento y extremos: f′ > 0 indica crecimiento y f′ < 0 decrecimiento; un punto crítico con cambio de signo de f′ es extremo relativo; f″ > 0 indica convexidad.

Regla de Barrow: si F es una primitiva de f continua en [a,b], ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a).

Integración por partes: ∫u dv = uv − ∫v du; elección típica u como polinomio o logaritmo y dv como exponencial o trigonométrica.

Cambio de variable: ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(t)dt con t = g(x); en integrales definidas hay que transformar también los límites.

Área entre dos curvas: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)|dx, con a y b los cortes dados por f(x) = g(x).

Volumen de revolución alrededor del eje OX: V = π∫ₐᵇ [f(x)]²dx; alrededor del eje OY con método de capas: V = 2π∫ₐᵇ x f(x)dx.

Si f es par, ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 2∫₀ᵃ f(x)dx; si f es impar, la integral sobre un intervalo simétrico es cero.

Integrales impropias: ∫₁^∞ 1/xᵖ dx converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1; se estudian como límite del extremo superior.

Teorema fundamental del cálculo: si f es continua, F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt es derivable y F′(x) = f(x).

Permutaciones de n elementos: n!; variaciones sin repetición V(n,r) = n!/(n−r)!; combinaciones C(n,r) = n!/[r!(n−r)!].

Variaciones con repetición VR(n,r) = nʳ; permutaciones con repetición de grupos repetidos: n!/(n₁!n₂!…).

Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) si P(B) > 0; A y B son independientes si P(A∩B) = P(A)P(B).

Teorema de la probabilidad total: P(B) = Σ P(Aᵢ)P(B|Aᵢ) para una partición {Aᵢ} del espacio muestral.

Teorema de Bayes: P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ) / Σⱼ P(Aⱼ)P(B|Aⱼ).

Distribución binomial B(n,p): P(X = k) = C(n,k)pᵏ(1−p)^{n−k}, media np y varianza np(1−p); modela n ensayos independientes con probabilidad constante.

Distribución normal N(μ,σ): tipificación Z = (X−μ)/σ; se usa la tabla N(0,1) y P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z).

Aproximación binomial por normal: si n es grande y p no extremo, B(n,p) ≈ N(np, √(np(1−p))) con corrección por continuidad de ±0,5.

Ecuación matricial AX = B con A invertible: X = A⁻¹B; si A no es invertible, se resuelve componente a componente planteando sistemas.

Ecuación XA = B con A invertible: X = BA⁻¹; el orden de multiplicación no es conmutativo y debe respetarse.

Para discutir un sistema con parámetro, se calcula det(A) y se distinguen los valores que lo anulan; en cada caso se aplica Rouché–Fröbenius.

Sistema compatible indeterminado: se elige la incógnita libre y se expresa la solución en función de un parámetro t.

Método de Gauss: las operaciones elementales (intercambiar filas, multiplicar por escalar no nulo, sumar múltiplo de otra fila) no alteran el conjunto solución.

La matriz inversa se obtiene por Gauss-Jordan ampliando A con la identidad: [A|I] → [I|A⁻¹].

Si A es cuadrada y Ax = 0 solo admite la solución trivial, entonces A es invertible y todo sistema Ax = b es compatible determinado.

Dominio de polinomios: ℝ; de cocientes, se excluyen los ceros del denominador; de raíces de índice par, se exige radicando ≥ 0; de logaritmos, argumento > 0.

Asíntota vertical en x = a si lim_{x→a} f(x) = ±∞; asíntota horizontal y = L si lim_{x→±∞} f(x) = L.

Asíntota oblicua y = mx + n existe si m = lim_{x→∞} f(x)/x es finito y no nulo, y n = lim_{x→∞} [f(x) − mx] es finito.

En funciones racionales, si el grado del numerador supera en uno al del denominador hay asíntota oblicua; si los grados son iguales, horizontal.

Puntos de corte: con el eje OY se evalúa f(0); con el eje OX se resuelven las raíces f(x) = 0.

Simetría: f es par si f(−x) = f(x) (simetría respecto al eje OY) e impar si f(−x) = −f(x) (simetría respecto al origen).

Para representar una función se estudian dominio, cortes, asíntotas, monotonía con f′, extremos y curvatura con f″.

Módulo de u = (u₁,u₂,u₃): |u| = √(u₁²+u₂²+u₃²); vector unitario en su dirección: u/|u|.

Suma y combinación lineal: αu + βv se calcula componente a componente; u y v son linealmente dependientes si uno es múltiplo del otro.

Ecuación vectorial de la recta: (x,y,z) = P₀ + t·d, con P₀ punto de paso y d vector director; paramétricas: x = x₀ + td₁, etc.

Ecuación continua de la recta: (x−x₀)/d₁ = (y−y₀)/d₂ = (z−z₀)/d₃, válida si ningún componente del director es nulo (si lo es, se escribe la igualdad restante).

Recta que pasa por dos puntos P y Q: director d = Q − P; punto medio M = (P+Q)/2.

Ángulo entre dos rectas de directores d₁ y d₂: cos θ = |d₁·d₂|/(|d₁||d₂|); rectas perpendiculares si d₁·d₂ = 0.

Punto de corte de recta y plano: se sustituyen las paramétricas de la recta en la ecuación del plano y se despeja t.

Media de una variable aleatoria discreta: μ = Σ xᵢP(X = xᵢ); varianza: σ² = Σ xᵢ²P(X = xᵢ) − μ².

Distribución de Bernoulli B(1,p): P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1−p, media p y varianza p(1−p).

En la normal estándar N(0,1), P(Z ≤ 0) = 0,5 y la tabla suele dar P(Z ≤ z) para z ≥ 0; para z negativo se usa la simetría.

Intervalos típicos de la normal: P(μ−σ < X < μ+σ) ≈ 0,6826; P(μ−2σ < X < μ+2σ) ≈ 0,9544; P(μ−3σ < X < μ+3σ) ≈ 0,9974.

Media muestral de n observaciones de una normal N(μ,σ): sigue N(μ, σ/√n), lo que permite calcular probabilidades de medias.

Estadística descriptiva: media x̄ = Σxᵢ/n; varianza poblacional σ² = Σ(xᵢ−x̄)²/n; cuasivarianza muestral s² = Σ(xᵢ−x̄)²/(n−1).

Coeficiente de variación CV = σ/x̄ permite comparar dispersión entre conjuntos con medias distintas.