Dos trayectorias de dron que no se cruzan, pero se acercan demasiado
Un aeropuerto de Castilla y León quiere evaluar el riesgo de cruce entre dos drones de inspección. En un sistema de coordenadas con kilómetros, el dron A sigue la trayectoria recta r_A: (x,y,z) = (2,1,0) + t(1,2,1), y el dron B sigue r_B: (x,y,z) = (1,0,3) + s(2,1,-1), con t y s en minutos. Los dos vuelan a la misma altitud de referencia y el software de seguridad exige que la distancia mínima entre sus trayectorias sea al menos 2 km. El coordinador de vuelo afirma que, como las rectas no son paralelas, se cruzarán y habrá que cancelar la misión; la ingeniera de trayectorias cree que no se cruzan, pero que la distancia mínima podría incumplir el margen. Además, se quiere conocer el ángulo entre las direcciones de vuelo para ajustar los sensores. La decisión debe tomarse antes de la ventana de despegue, sin cambiar los puntos de origen, solo pudiendo modificar la dirección de uno de los drones.
1. Estudia la posición relativa de las dos trayectorias y determina si los drones se cruzan en algún instante.
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Escribimos los puntos y vectores directores: P = (2,1,0), u = (1,2,1); Q = (1,0,3), v = (2,1,-1). Si se cortaran, existirían t y s con: 2 + t = 1 + 2s 1 + 2t = s t = 3 - s De la segunda, s = 1 + 2t. Sustituyendo en la primera: 2 + t = 1 + 2(1 + 2t) = 3 + 4t, luego 3t = -1 y t = -1/3. Entonces s = 1 - 2/3 = 1/3. La tercera ecuación daría t = 3 - s = 8/3, que no coincide con -1/3. El sistema es incompatible. Como u y v no son paralelos, las rectas no se cortan y no son coplanarias: son rectas que se cruzan en el espacio. Por tanto, los drones nunca ocupan el mismo punto, pero eso no garantiza que la distancia mínima sea segura.
2. Calcula la distancia mínima entre las trayectorias y el ángulo entre las direcciones de vuelo.
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Producto vectorial: u × v = (2·(-1) - 1·1, 1·2 - 1·(-1), 1·1 - 2·2) = (-3, 3, -3). Su módulo es |u × v| = √(9 + 9 + 9) = 3√3. El vector Q - P = (-1, -1, 3). La distancia entre rectas que se cruzan es: d = |(Q - P) · (u × v)| / |u × v| = |(-1)(-3) + (-1)(3) + 3(-3)| / (3√3) = |3 - 3 - 9| / (3√3) = 9 / (3√3) = √3 ≈ 1,73 km. Ángulo: cos θ = |u · v| / (|u||v|) = |1·2 + 2·1 + 1·(-1)| / (√6·√6) = |2 + 2 - 1| / 6 = 3/6 = 1/2. Por tanto θ = 60°.
3. Decide qué debe hacer el aeropuerto y evalúa las afirmaciones del coordinador y de la ingeniera.
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La distancia mínima es √3 ≈ 1,73 km, inferior al margen de 2 km. Aunque las trayectorias no se cortan, el riesgo de aproximación es real. El coordinador se equivoca al afirmar que se cruzarán: las rectas son alabeadas, no se cortan. La ingeniera acierta en que no se cruzan y en que la distancia mínima puede incumplir el margen. La decisión no puede ser cancelar sin más ni despegar sin cambios: hay que separar las trayectorias, por ejemplo modificando la dirección de uno de los drones o elevando la altitud de uno de ellos. Cambiar solo el instante de salida no altera la recta y, por tanto, no corrige la distancia mínima. El ángulo de 60° indica que las direcciones no son casi paralelas, así que la aproximación no se debe a un paralelismo; el problema es el desplazamiento entre las rectas.