Un modelo de concentración con empalme continuo y derivable
Un laboratorio de León estudia la concentración en sangre de un fármaco, en mg/L, durante las primeras 6 horas. El modelo previsto es C(t) = a·t/(t+1) si 0 ≤ t ≤ 2, y C(t) = b + c(t-2) + (t-2)^2 si 2 < t ≤ 6. Para que el modelo sea admisible, C debe ser continua y derivable en t = 2. Además, una medición a las 3 horas da C(3) = 4/3 mg/L. El responsable de farmacocinética quiere saber si con esas condiciones los parámetros quedan determinados y si la concentración puede superar 2 mg/L antes de la sexta hora. Un técnico advierte que si solo se impone la continuidad, hay infinitas combinaciones y el modelo no sirve para decidir la dosis. La dirección exige una conclusión clara: mantener el modelo, ajustarlo o descartarlo, y justificar si el aviso de superar 2 mg/L obliga a cambiar el protocolo.
1. Determina los parámetros a, b y c para que el modelo sea continuo y derivable en t = 2 y se cumpla la medición C(3) = 4/3.
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Continuidad en t = 2: el límite por la izquierda es 2a/3 y el valor por la derecha es b, luego b = 2a/3. Derivada por la izquierda: si C(t) = a·t/(t+1), entonces C'(t) = a/(t+1)^2; en t = 2 vale a/9. Derivada por la derecha: C'(t) = c + 2(t-2); en t = 2 vale c. La derivabilidad exige c = a/9. La medición C(3) = 4/3 se impone en la rama derecha: b + c·1 + 1^2 = 4/3. Sustituyendo b y c: 2a/3 + a/9 + 1 = 4/3. Entonces (6a + a)/9 = 1/3, es decir, 7a/9 = 1/3, de donde a = 3/7. Por tanto b = 2/7 y c = 1/21. Los tres parámetros quedan determinados.
2. Con los valores obtenidos, comprueba si la concentración puede superar 2 mg/L antes de la sexta hora.
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En 0 ≤ t ≤ 2, C(t) = (3/7)·t/(t+1). Esta función es creciente y su máximo en ese tramo es C(2) = (3/7)·2/3 = 2/7 ≈ 0,286 mg/L. En 2 ≤ t ≤ 6, C(t) = 2/7 + (1/21)(t-2) + (t-2)^2, que es creciente porque todos los coeficientes son positivos. Resolvemos C(t) = 2 con u = t - 2: u^2 + (1/21)u + 2/7 = 2, luego u^2 + (1/21)u - 12/7 = 0. Multiplicando por 21: 21u^2 + u - 36 = 0. El discriminante es 1 + 3024 = 3025 = 55^2, así que u = (-1 ± 55)/42. La raíz positiva es u = 54/42 = 9/7. Por tanto t = 2 + 9/7 = 23/7 ≈ 3,29 h. Sí supera 2 mg/L a partir de 23/7 h y en t = 6 alcanza 2/7 + 4/21 + 16 = 346/21 ≈ 16,48 mg/L. El aviso es relevante: el modelo predice una subida muy fuerte y el protocolo debe revisarse.
3. Explica por qué no basta con imponer solo la continuidad en t = 2 y qué conclusión debe dar el laboratorio.
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Si solo se impone continuidad, únicamente se obtiene b = 2a/3. Quedan a y c libres, de modo que hay infinitas combinaciones. La derivada por la izquierda valdría a/9 y la derecha c; si no se impone c = a/9, la concentración podría tener un pico o un cambio brusco de pendiente en t = 2, y el modelo no sería fiable para decidir dosis. La derivabilidad y la medición a las 3 horas son necesarias para fijar el modelo. Con los parámetros obtenidos, el laboratorio no debería mantener sin más el protocolo: debe ajustar el modelo o establecer una alerta a partir de t = 23/7 h, porque la concentración supera 2 mg/L y sigue creciendo. Descartar por completo el modelo tampoco está justificado: la rama inicial es suave, pero la rama posterior muestra que el fármaco se acumula.